§ 16.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ МЕТОДОМ НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Как уже известно, при определении перемещений методом непосредственного интегрирования необходимо для каждого участка балки составлять выражения изгибающих моментов и производить интегрирование основного дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Поэтому при двух или большем числе участков балки применение изложенного метода становится затруднительным.

Ниже рассмотрено определение линейных и угловых перемещений при изгибе балки постоянного сечения методом начальных параметров. Этот метод не требует составления выражений изгибающих моментов и интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Число постоянных, подлежащих определению, не превышает двух, независимо от числа участков балки.

Метод начальных параметров получил широкое применение при решении разнообразных инженерных задач. Его разработали советские ученые Н. П. Пузыревский, П. Г. Куликовский, Н. К. Снитко, Н. И. Безухов, А. А. Уманский и др.

Рассмотрим балку длиной l, находящуюся в равновесии под действием приложенных к ней нагрузок и опорных реакций. Левая часть этой балки длиной изображена на рис. 75.7. Условимся считать направления нагрузок Р, q, q', , показанные на этом рисунке, положительными Совместим с левым концом балки начало О прямоугольной системы координат и направим ось вправо, а ось у — вверх.

Составим выражения для поперечной силы Q и изгибающего момента М, возникающих в поперечном сечении участка VI балки с абсциссой (рис. 75.7):

(73.7)

В эти уравнения входят все нагрузки, приложенные к балке левее рассматриваемого сечения (с абсциссой ). Сила не входит в них, так как она приложена правее этого сечения. Составленные уравнения действительны для всех сечений в пределах одного лишь участка VI. Для других участков балки выражения Q и М отличаются от приведенных выражений. Например, в выражения Q и М для участка II не войдут нагрузки ЗЛ, и q, приложенные правее него, а в выражения Q и М для участка VII дополнительно войдет нагрузка

Рис. 75.7

В первом из уравнений (73.7) заменим сумму выражением а во втором — выражением Тогда эти выражения будут действительны при любом числе сосредоточенных сил Р, приложенных левее рассматриваемого сечения. Аналогично представим и остальные члены выражения (73.7); индексов при с указывать не будем:

Здесь каждая величина с означает расстояние от сечения, в котором приложена соответствующая сосредоточенная нагрузка или начинается действие распределенной нагрузки, до сечения, для которого определяется значение Q или М. Так, например, выражение следует понимать как сумму и т.д., т. е. параметр с принимает последовательно значения и т. д.

Выражения (74.7) можно использовать для определения значений Q и М на любом участке балки, подставляя в них только нагрузки, приложенные к балке левее рассматриваемого сечения с абсциссой

Если распределенная нагрузка обрывается в сечении расположенном левее сечения с абсциссой (рис. 76.7, а), то ее следует продолжить до правого конца балки и одновременно с этим приложить на участке от сечения до правого конца балки нагрузку той же величины, но обратного знака (рис. 76.7, б).

В случае, например, показанном на рис. 76.7, а, выражения Q и М при будут тогда иметь вид

Второе из выражений (74.7) можно представить в следующем виде:

Здесь факториалы, указанные в знаменателях дробей, равны

Рис. 76.7

Рис. 77.7

Подставим выражение изгибающего момента по второй из формул (74.7) в основное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (68.7):

Проинтегрируем дважды полученное уравнение, учтя при этом, что

Постоянные интегрирования относятся к участку балки. Для их определения рассмотрим два соседних участка балки (рис. 77.7), на границе которых приложена сосредоточенная сила Р (или приложен сосредоточенный момент, или начинается действие распределенной нагрузки).

Представим уравнения (75.7) для участка этой балки в виде:

где — правые части уравнений (75.7) без членов, содержащих постоянные интегрирования.

Для участка балки уравнения (75.7) примут вид:

Но на границе участков , т. е. при

Следовательно,

и

откуда

Рассматривая аналогично соседние участки получим

Следовательно,

Таким образом, постоянные интегрирования С (также и ), входящие в выражения (75.7), одинаковы для всех участков балки от первого до последнего, а потому индексы при этих постоянных в выражениях (75.7) могут отсутствовать. Для определения С и D по формулам (75.7) составим выражения (для сечения на левом конце балки, т. е. при Для этого сечения все расстояния с равняются нулю. Следовательно,

Подставим найденные значения С и D в уравнения (75.7):

Полученные выражения прогибов и углов поворота действительны при условии, что начальное сечение балки (с координатой расположено у ее левого конца, а положительным для оси является направление слева направо. В правых частях этих выражений с — расстояния от сечений, в которых к балке приложена соответствующая сосредоточенная нагрузка (или начинается действие распределенной нагрузки), до сечения, для которого определяются значения и у.

Нагрузки приложенные к левому концу (начальному сечению) балки, а также перемещения этого конца называются начальными параметрами. По значениям этих параметров (а также нагрузок, приложенных к балке по ее длине) с помощью уравнений (76.7) можно определить углы поворота и прогибы у любых сечений балки. Поэтому уравнения (76.7) называются уравнениями метода начальных параметров.

Рис. 78.7

При определении прогибов и углов поворота поперечного сечения балки в выражениях (76.7) следует учитывать все приложенные к балке слева от рассматриваемого сечения внешние сосредоточенные и распределенные нагрузки (включая и опорные реакции). Нельзя пропустить ни одной нагрузки, расположенной левее рассматриваемого сечения, и нельзя также включить в уравнение ни одну нагрузку, приложенную правее сечения. Нагрузки, приложенные правее некоторого сечения балки, конечно, влияют на прогиб и угол поворота этого сечения; их влияние учитывается тем, что в выражения (76.7) включаются реакции опорных закреплений балки, расположенных левее рассматриваемого сечения, а также начальные параметры Так, например, влияние силы Р на прогиб и угол поворота сечения балки, показанной на рис. 78.7, учитывается тем, что в выражения входят опорная реакция и начальный параметр зависящие от этой силы.

Для статически определимой балки начальные параметры можно легко определить при помощи уравнений равновесия. Начальные же параметры могут быть как известными, так и неизвестными — в зависимости от способа закрепления левого конца балки. Если левый конец защемлен, то известны оба этих начальных параметра если левый конец шарнирно оперт, то известен только один из них если же левый конец балки свободен, то оба параметра неизвестны.

Неизвестные начальные параметры можно определить из условий, составленных для сечений балки, перемещения которых известны. Так, например, для балки с шарнирно опертыми концами неизвестный начальный параметр (угол поворота сечения на левой опоре) определяется из того условия, что прогиб на правой опоре равен нулю.

В некоторых сечениях балки углы поворота О или прогибы у могут скачкообразно изменять свою величину соответственно на или .

Например, в местах расположения шарниров многопролетной шарнирной балки скачками изменяются значения углов поворота . Уравнения (76.7) можно распространить и на такие случаи. Для этого в них следует заменить на

Тогда уравнения (76.7) примут вид:

Начальные параметры при использовании уравнений (77.7) рассматриваются как скачки и в начальном сечении балки (при )

Рис. 79.7

Рассмотрим ряд примеров определения перемещений (при изгибе) методом начальных параметров.

Определим прогибы и углы поворота поперечных сечений балки, заделанной правым концом и нагруженной на левой половине пролета равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 79.7, а). Известны следующие начальные параметры (на левом конце балки при Неизвестными являются начальные параметры Для определения их используем условие равенства нулю поворота и прогиба на правом (заделанном) конце балки.

Нагрузку q (отрицательную, так как она направлена сверху вниз) продолжаем до правого конца балки, одновременно прикладывая к правой половине пролета такую же нагрузку, но направленную в противоположную сторону, т. е. снизу вверх (рис. 79.7, б).

Уравнения (76.7) метода начальных параметров принимают для участка II балки (см. рис. 79.7, а) вид:

При как уже известно,

Следовательно,

откуда

тогда

Составим теперь уравнения углов поворота и прогибов для участков I а II балки:

По этим уравнениям можно найти углы поворота и прогибы любого сечения балки.

Определим прогиб балки, лежащей на двух опорах, в сечении под грузом Р (см. рис. 74.7). Известны следующие начальные параметры:

Неизвестным начальным параметром является . Для его определения составляем уравнение прогибов для участка II балки

При

Следовательно,

откуда

Подставив значения и в выражение найдем прогиб балки под грузом Р:

При грузе Р, приложенном посредине балки, т. е. при прогиб под грузом

Построим эпюру прогибов балки, показанной а рис. 80.7, а.

Рис. 80.7

Составим уравнения равновесия в виде сумм моментов левых сил относительно шарнира В и всех сил относительно шарнира D (рис. 80.7,б):

откуда

откуда

Известны следующие начальные параметры:

Неизвестен начальный параметр Кроме того, неизвестна величина скачка угла поворота в шарнире В (рис. 80.7, в). Неизвестные и находим из условий равенства нулю прогибов балки в сечениях С и D, т. е. из условий

С ломощью второго из уравнений (77.7) составляем выракение для прогибов участка IV балки:

При

При

После преобразования этих уравнений получаем:

Решая эти уравнения, находим:

Определим теперь угол поворота сечения на правом конце части АВ балки. По первой из формул (77.7)

В сечении на левом конце участка III балки угол поворота

Прогиб балки в шарнире В [по второй формуле (77.7)]

Прогиб балки посредине правого пролета CD (в точке К)

Найдем теперь этот же прогиб, перенеся начало координат в шарнир В (т. е. отбросив часть балки). Тогда начальные параметры

По второй из формул (77.7) [или (76.7)]

Эпюра прогибов (изогнутая ось балки), построенная по найденным выше значениям прогибов, изображена на рис. 80.7, в. На ней показаны также и найденные значения углов поворота сечений балки.

На основании решенных примеров можно установить следующий порядок определения перемещений (при изгибе балки постоянного сечения) методом начальных параметров.

1. Определяются опорные реакции.

2. Устанавливаются значения известных начальных параметров и выясняется, какие начальные параметры являются неизвестными.

3. С помощью формул (76.7) или (77.7) составляются выражения прогибов или углов поворота тех сечений, для которых величины этих перемещений известны. В эти выражения, кроме известных начальных параметров и нагрузки, входят также неизвестные начальные параметры.

4. Решением уравнений, указанных в п. 3, определяются неизвестные начальные параметры.

5. По формулам (76.7) или (77.7) определяются прогибы и углы поворота сечений балки.