§ 3.3. ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ. ГЛАВНЫЕ ПЛОЩАДКИ

При расчете инженерных конструкций нет необходимости определять напряжения во всех площадках, проходящих через данную точку; достаточно знать экстремальные (т. е. максимальные и минимальные) их значения.

Максимальные и минимальные нормальные напряжения называются главными напряжениями, а площадки, по которым они действуют, - главными площадками.

Для определения величины главных напряжений и положений главных площадок приравниваем нулю первую производную напряжения по углу а [см. формулу (6.3)]:

или

Здесь - углы наклона главных площадок к площадке, в которой действует напряжение ад. (см. рис. 2.3). Сравнивая последнее выражение с формулой (7.3), устанавливаем, что

Следовательно, по главным площадкам касательные напряжения равны нулю.

Поэтому главными площадками можно называть площадки, по которым касательные напряжения равны нулю.

Решим уравнение (9.3) относительно угла

или на основании (5.3)

Формула (10.3) или (11.3) дает значения углов определяющие две взаимно перпендикулярные площадки. Следовательно, обе главные площадки взаимно перпендикулярны. Для определения их положений площадки, в которых действуют напряжения следует повернуть на угол против часовой стрелки (при или по часовой стрелке (при

При любом значении полученном по формуле (10.3) или (11.3), можно установить соответствующую величину угла находящуюся в интервале от —90 до +90°, и, следовательно, значение от —45 до +45° Поэтому поворот площадок всегда можно произвести на угол, не больший .

По одной из главных площадок действует максимальное напряжение <тгоах, а по другой — минимальное напряжение . При решении конкретной числовой задачи для определения величин значения углов можно подставить в формулу (6.3). Решим эту же задачу в общем виде.

По формулам тригонометрии, используя выражение (10.3), найдем:

Подставив эти выражения в формулу (6.3), после простых преобразований получим выражения экстремальных нормальных напряжений

Для определения положения главной площадки с напряжением атах можно выполнить следующее: площадку с большим (в алгебраическом смысле) нормальным напряжением повернуть на угол (по абсолютной величине не больший 45°) в направлении, в котором вектор касательного напряжения, действующего по этой же площадке, стремится вращать элементарный параллелепипед относительно его центра.

После определения положения главной площадки с напряжением атах легко находится перпендикулярная к ней вторая главная площадка с напряжением .

Рис. 6.3

Такой прием позволяет приближенно определять положения главных площадок, не вычисляя значения а используя то обстоятельство, что угол всегда можно взять по абсолютной величине не большим 45°. Примеры такого приближенного определения даны на рис. 6.3, а, б.