§ 12.7. ПОНЯТИЕ О ЦЕНТРЕ ИЗГИБА

В § 8.7 рассмотрено распределение касательных напряжений ту в поперечных сечениях бруса при прямом поперечном изгибе. Напряжения ту параллельны поперечной силе Кроме них, в сечениях балки действуют касательные напряжения перпендикулярные к силе Q, и нормальные напряжения о. Напряжения ту и являются составляющими полного касательного напряжения, действующего в каждой точке поперечного сечения балки.

Выведем формулу касательных напряжений в поперечном сечении балки, находящейся в условиях прямого поперечного изгиба. Для этого из балки (рис. 60.7, а) выделим двумя поперечными сечениями бесконечно малый элемент длиной Из этого элемента, показанного на рис. 60.7,б, выделим в свою очередь элементарную призму 1-2-3-4-5-6-7-8.

По граням 1-2-3-4 и элементарной призмы, совпадающим с поперечными сечениями балки, действуют соответственно нормальные напряжения о и , величины которых определяются формулами

где М и — изгибающие моменты, действующие соответственно в поперечных сечениях балки с абсциссами расстояние от точки, в которой определяются напряжения от, до нейтральной оси.

Равнодействующая элементарных сил возникающих по грани 5-6-7-8 призмы, больше равнодействующей элементарных сил возникающих по грани 1-2-3-4 (здесь — площадь каждой из указанных граней). В связи с этим призма может находиться в равновесии лишь при условии, что по ее грани 1-5-8-4 действуют касательные напряжения (см. рис. 60.7,б).

Рис. 60.7

Но тогда на основании закона парности касательных напряжений, такие же (по величине) касательные напряжения действуют по граням 1-2-3-4 и 5-6-7-8 элементарной призмы (см. рис. 60.7,б).

Составим уравнение равновесия элементарной призмы в виде суммы проекций всех приложенных к ней сил на ось балки:

Здесь - равнодействующая элементарных сил возникающих на грани 1-2-3-4-, - равнодействующая элементарных сил возникающих на грани 5-6-7-8; — равнодействующая элементарных касательных сил, возникающих на грани 1-5-8 4; — размер поперечного сечения балки, измеряемый в направлении, перпендикулярном к нейтральной оси (в рассматриваемом на рис. 60.7 случае — толщина полки двутавра).

Предполагается, что касательные напряжения по всей толщине сечения одинаковы. Подставим в последнее уравнение выражения и по формулам (53.7):

или

Но на основании теоремы Журавского

Следовательно,

откуда

Интеграл представляет собой статический момент площади относительно нейтральной оси z поперечного сечения балки. Следовательно,

По закону парности касательных напряжений величины напряжений действующих в поперечном сечении балки, равны (по абсолютной величине) т. е.

или

Формула (54.7) совпадает с формулой Журавского (28.7), полученной в § 8.7 для касательных напряжений, параллельных поперечной силе Q. Таким образом, составляющие касательных напряжений, как параллельные, так и перпендикулярные к поперечной силе, можно определять по формуле Журавского, подставляя в нее соответствующие значения (или b) и

Рассмотрим теперь распределение касательных напряжений в поперечном сечении балки корытного профиля (в швеллере), испытывающей прямой поперечный изгиб. На рис. 61.7, а изображена часть балки, расположенная справа от рассматриваемого сечения. Поперечную силу в этом сечении будем считать положительной и, следовательно, действующей на левый торец правой части балки снизу вверх. Левая часть балки отброшена.

Распределение касательных напряжений ту в стенке швеллера не отличается от их распределения, показанного на рис. 44.7, в для двутаврового сечения, находящегося в условиях прямого поперечного изгиба (см. § 8.7).

Определим распределение касательных напряжений в верхней полке швеллера. Для этого проведем на расстоянии и от края полки вертикальное сечение (рис. 61.7, а).

Рис. 61.7

Определим статический момент S отсеченной части площади (заштрихованной на рис. 61.7, а) относительно оси :

По формуле (54.7)

Эпюра напряжений изображена на рис. 61.7, а. В нижней полке напряжения по величине такие же, как и в верхней полке, но направлены в противоположную сторону. Напряжения в стенке швеллера равны нулю, что непосредственно следует из формулы (54.7), так как вертикальное сечение, проведенное через стенку швеллера, отсекает часть площади поперечного сечения, симметричную относительно нейтральной оси ; статический момент S этой части относительно оси , следовательно, равен нулю, а потому и касательные напряжения в стенке швеллера также равны нулю.

Таким образом, при прямом поперечном изгибе в поперечных сечениях швеллера возникают следующие напряжения:

а) нормальные напряжения а, определяемые по формуле эти напряжения создают бесчисленное множество элементарных нормальных сил которые приводятся к действующему в сечении изгибающему моменту

б) касательные напряжения действующие в полках швеллера и направленные горизонтально; равнодействующие элементарных сил возникающих соответственно в верхней и нижней полках швеллера, равны (см. эпюры на рис. 61.7, а):

их направления показаны на рис. 61.7, б:

в) касательные напряжения направленные вертикально.

Действительные касательные напряжения возникающие в полках швеллера, значительно меньше, чем в стенке, и практически их можно принимать равными нулю; поэтому эпюра построена только для стенки швеллера. С достаточной для практики точностью можно принять, что равнодействующая касательных сил возникающих в стенке швеллера, равна поперечной силе Q, а ее линия действия проходит посредине толщины стенки швеллера, как показано на рис. 61.7,б.

При изображении тонкостенных сечений (типа швеллера) часто проводят лишь осевые линии элементов профиля и строят эпюры касательных напряжений вдоль этих линий (рис. 61.7, в).

Силы можно заменить силой приложенной в центре тяжести О поперечного сечения балки, и моментом действующим по часовой стрелке, равным моменту этих сил относительно продольной оси (оси ) балки (относительно точки О на рис. 61.7, б,в):

или

где — толщина вертикальной стенки швеллера (см. рис. 61.7, а).

Поперечную силу Q и момент МХУ действующие в поперечном сечении, можно заменить одной силой Q, но приложенной не в центре тяжести поперечного сечения, а в точке К на расстоянии с от центра тяжести (рис. 61.7, б).

Это расстояние определяется из выражения

Сила Q, приложенная к точке должна создавать относительно оси балки момент того же знака, как и силы . Поэтому расстояние с должно быть отложено от центра тяжести сечения в сторону к стенке швеллера (см. рис. 61.7, б).

Расстояние от точки К до оси стенки швеллера определяется из выражения

Точка К называется центром изгиба. Она является центром внутренних касательных сил, действующих в поперечном сечении балки (при прямом поперечном изгибе), т. е. точкой приложения равнодействующей этих сил.

Итак, влияние отброшенной (левой) части балки на оставленную (правую) при прямом поперечном изгибе можно представить в виде поперечной силы Q, проходящей через центр изгиба параллельно оси у, и изгибающего момента М относительно оси Сила Q и момент М, представляющие собой воздействие левой части балки на правую, не дают момента относительно оси центров изгиба (параллельной оси и представляющей собой геометрическое место центров изгиба поперечных сечений балки).

Следовательно, для того чтобы балка испытывала прямой поперечный изгиб, внешние силы не должны создавать момента относительно оси центров изгиба. Если они создают такой момент, то балка, кроме изгиба, испытывает также деформацию кручения.

На рис. 62.7 показаны консольные прокатные балки из швеллеров. Первая из них (рис. 62.7, а) на свободном конце загружена вертикальной силой Р, проходящей через ось центров изгиба и не создающей момента относительно нее. В этом случае, следовательно, балка испытывает прямой поперечный изгиб; нормальные напряжения в ее поперечных сечениях могут определяться по формуле у, а касательные — по формуле Журавского [или ].

Вторая балка (рис. 62.7, б) загружена на свободном конце вертикальной силой Р, проходящей через ось балки (осьлг). Эта сила создает относительно оси центров изгиба момент, равный действующий в плоскости поперечного сечения и направленный против часовой стрелки. Следовательно, заданная сила Р статически эквивалентна силе проходящей через ось центров изгиба, и скручивающему моменту (действующему против часовой стрелки).

В данном случае балка испытывает прямой поперечный изгиб (от силы ) и кручение от момента В поперечных сечениях балки при этом возникают нормальные и касательные напряжения, определяемые, как при прямом поперечном изгибе, и, кроме того, касательные напряжения от действия скручивающего момента Последние приближенно можно определить по формулам, приведенным в § 6.6.

Рис. 62.7

Третья балка (рис. 62.7, в) загружена у свободного конца вертикальной силой Р, а на границе участков и II (в точке силой сила Р создает относительно оси центров изгиба скручивающий момент ), действующий по часовой стрелке, а сила скручивающий момент такой же величины но действующий против часовой стрелки (рис. 62.7, г). На участке (рис. 62.7, б) балка одновременно испытывает состояние прямого поперечного изгиба и кручения; участок II можно приближенно Считать находящимся в состоянии прямого поперечного изгиба, так как суммарный момент относительно оси центров изгиба от сил Р и приложенных левее участка равен нулю.

Аналогично тому, как найден центр изгиба для швеллера, можно определить центры изгиба и других типов сечений. Центр изгиба сечения, симметричного относительно некоторой оси, всегда расположен на этой оси. Если поперечное сечение симметрично относительно двух или большего числа осей, то центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения.

Легко установить положение центра изгиба для тонкостенного сечения, состоящего из нескольких прямоугольников, оси которых пересекаются в одной точке. Касательные напряжения в каждом таком прямоугольнике при прямом поперечном изгибе направлены параллельно его длинным сторонам, а равнодействующая элементарных касательных сил по каждому прямоугольнику совпадает с его осью. Все такие равнодействующие пересекаются в одной точке (в точке пересечения осей прямоугольников), а потому поперечная сила в сечении, являющаяся их общей равнодействующей, при прямом поперечном изгибе проходит через эту точку, которая, следовательно, и является центром изгиба.

Полученные на основе таких рассуждений центры изгиба (точки К) для некоторых типов сечений показаны на рис. 63.7.

Рис. 63.7

Следует учесть, что брусья тонкостенного открытого профиля (типа швеллера) плохо сопротивляются деформации кручения; поэтому при использовании таких брусьев в качестве элементов конструкций, работающих на изгиб, следует принимать конструктивные меры для такой передачи нагрузки, при которой плоскость ее действия проходит через центры изгиба поперечных сечений бруса. В частности, для швеллерной балки это можно осуществить, прикладывая нагрузку к угловому коротышу, приваренному к ее стенке (см. рис. 62.7, а).