Действительно, так как
, то поле
содержит поле
кроме того, очевидно, поле
. Поэтому в силу минимальности композита
С другой стороны,
ибо
Применим эту теорему к случаю, когда числа
алгебраичны над Р, т. е. к случаю, когда поле
является алгебраически порожденным (т. е. конечным) расширением поля Р.
Алгебраические над полем Р числа
алгебраичны и над полем
. Поэтому любой элемент поля
выражается в виде многочлена от
с коэффициентами из поля (см. п. 5). Отсюда вытекает, что любой элемент поля К можно представить в виде
где
(именно
, суть некоторые одночлены от
). Таким образом, если хотя бы одно из расширений
поля Р конечно, то любой элемент их композита К имеет вид (1).
Задача. Доказать, что композит конечных расширений является конечным расширением.