5. Пример уравнения с симметрической группой Галуа

Группа О подстановок степени называется транзитивной, если для любых двух чисел (конечно, предполагается, что ) в группе О существует хотя бы одна подстановка, переводящая число i в число . Значение транзитивных групп для теории Галуа объясняется следующей теоремой.

Группа Галуа неприводимого многочлена транзитивна.

Для доказательства достаточно заметить, что если многочлен неприводим, то все его корни сопряжены между собой, и поэтому для любой пары корней в поле существует автоморфизм (над Р), переводящий корень а, в корень а, (см. ч. I, гл. 3, п. 5).

Задача. Доказать, что многочлен, имеющий транзитивную группу Галуа, неприводим.

Не имея в виду изучить любые транзитивные группы, мы ограничимся рассмотрением групп, содержащих хотя бы одну транспозицию.

Пусть транзитивная группа О содержит транспозицию Кроме этой транспозиции, группа О может содержать и другие транспозиции вида (). Пусть

— все транспозиции вида содержащиеся в группе О. Тогда группа О не содержит ни одной транспозиции вида

для которой число у отлично от чисел (транспозиции вида ), где группа О содержит, ибо Действительно, для это очевидно, а для из соотношений вытекает, что, вопреки условию, Если теперь , т. е. если существует число отличное от чисел , то, поскольку группа О транзитивна, ней существует хотя бы одна подстановка а, переводящая число в число .

Пусть

где

Из доказанного выше следует, что ни одно из чисел не равно ни одному из чисел ибо подстановка принадлежит группе О. Следовательно,

Если , то существует число , отличное как от чисел , так и от чисел . В силу транзитивности группы О в ней существует хотя бы одна подстановка b, переводящая число в число k. Пусть

где

Как и выше, доказывается, что ни одно из чисел не равно ни одному из чисел . Кроме того, оказывается, что ни одно из чисел не равно ни одному из чисел . Действительно, если, например, , то группа О содержит транспозицию

где k — число, переводящееся подстановкой а в число k, что невозможно, ибо число k, очевидно, отлично от чисел Следовательно, .

Если , то аналогичным построением мы можем найти чисел отличных от всех ранее найденных, и тем самым доказать, что . Процесс построения новых чисел остановится лишь тогда, когда мы исчерпаем все чисел Но так как на каждом шаге мы добавляем ровно чисел, то такое исчерпание возможно лишь тогда, когда делит . С другой стороны, процесс должен обязательно остановиться, ибо число конечно. Тем самым мы доказали, что число делит число (степень группы О),

Так как то отсюда следует, что в случае, когда — простое число, число должно совпадать с . Таким образом, в этом случае числа исчерпывают все числа , и потому группа О содержит любую транспозицию (ибо ) Следовательно, потому что каждая подстановка разлагается в произведение транспозиций. Тем самым доказано, что транзитивная группа простой степени, содержащая транспозицию, совпадает со всей симметрической группой.

Применим эту теорему к задаче отыскания группы Галуа неприводимого многочлена простой степени . Предположим, что все корни многочлена действительны, кроме двух. Пусть, например, не действительные корни многочлена — его действительные корни. Предположим далее, что основное поле Р состоит только из действительных чисел (например, является полем R рациональных чисел). Тогда корни а, и являются, как известно, комплексно сопряженными числами

Любой элемент а поля выражается в виде многочлена (с коэффициентами из Р) от

Так как все коэффициенты этого многочлена являются по условию действительными числами, то

то

(напомним, что корни по условию являются действительными числами), и следовательно, Поэтому, полагая

мы получим некоторое отображение S поля Q в себя. Из элементарных свойств операции (см. Курс, стр. 122) легко следует, что отображение S является автоморфизмом поля Q над полем Р, т. е. .

Подстановка, соответствующая автоморфизму S, является, очевидно, транспозицией (1 2). Таким образом, группа Галуа многочлена (рассматриваемая как группа подстановок) является транзитивной (ибо многочлен ) неприводим) группой простой степени , содержащей транспозицию (1 2). Поэтому эта группа совпадает со всей группой Таким образом, доказана следующая теорема.

Если

1) поле Р состоит только из действительных чисел;

2) многочлен неприводим над полем

3) степень многочлена является простым числом]

4) многочлен имеет точно два не действительных корня, то группой Галуа многочлена является симметрическая группа

Примером многочлена над полем R рациональных чисел, который удовлетворяет условиям этой теоремы, служит многочлен

где — произвольное простое число. Неприводимость этого многочлена следует из критерия Эйзенштейна (см. Курс, стр. 353). Ряд Штурма для него имеет вид

и следовательно, согласно теореме Штурма, многочлен имеет три действительных корня. Таким образом, этот многочлен удовлетворяет условиям теоремы. Значит, его группой Галуа является группа . Так как последняя группа неразрешима, то уравнение

неразрешимо в радикалах. Таким образом, над полем рациональных чисел существуют неразрешимые в радикалах уравнения пятой степени.

Так как если все уравнения некоторой степени разрешимы в радикалах, то разрешимы в радикалах и все уравнения любой меньшей степени то тем самым доказано, что над полем рациональных чисел существуют, неразрешимые в радикалах уравнения любой степени, большей или равной пяти.

Для построения таких уравнений достаточно многочлен умножить на произвольный многочлен соответ ствующей степени.