2. Нормальные ряды

Пусть О — произвольная группа и — некоторые ее подгруппы, из которых вторая является погруппой первой:

Цепочка вложенных друг в друга подгрупп

начинающаяся с подгруппы и кончающаяся подгруппой , называется нормальным рядом, если для любого подгруппа является нормальным делителем подгруппы (нормальным делителем по всей группе О подгруппа может и не быть). Соответствующие факторгруппы называются факторами нормального ряда (1).

Подчеркнем, что мы, вообще говоря, не требуем, чтобы нормальный ряд (1) не содержал повторений: вполне может быть, что для некоторого I подгруппа совпадает с подгруппой Конечно, при желании можно из нормальных рядов удалять все повторяющиеся группы.

Особое значение имеют нормальные ряды

начинающиеся с группы О и кончающиеся единичной подгруппой е. Такие нормальные ряды мы будем называть нормальными рядами группы О. Очевидно, что если группа О конечна, то для любого ее нормального ряда (2) все факторы также конечны и

где — порядок группы О, а — порядок группы Обратно, если группа О обладает нормальным рядом с конечными факторами, то сама группа О также конечна и ее порядок выражается через порядки факторов нормального ряда согласно формуле (3).

Пусть теперь произвольный гомоморфизм. Очевидно, что если подгруппа группы О содержится в подгруппе

то подгруппа группы О содержится в подгруппе

Кроме того, если подгруппа является нормальным делителем в подгруппе то подгруппа является нормальным делителем в подгруппе (доказать!). Следовательно, для любого нормального ряда

цепочка

является нормальным рядом. Если, в частности, (т. е. если ряд (4) является нормальным рядом группы О), а отображение эпиморфно, то (т. е. ряд (5) будет нормальным рядом группы О), Таким образом, произвольный эпиморфизм переводит любой нормальный ряд

группы О в некоторый нормальный ряд

группы О.

Заметим, что для любого эпиморфизм индуцирует некоторый эпиморфизм

(ибо условия, при которых определен индуцированный гомоморфизм, очевидно, здесь выполнены). Следовательно, факторы ряда (7) являются гомоморфными образами факторов ряда (6).

Пусть опять — произвольный гомоморфизм. Очевидно, что если подгруппа группы О содержится в подгруппе

то подгруппа группы О содержится в подгруппе

Кроме того, если подгруппа является нормальным делителем в подгруппе то подгруппа является нормальным делителем в подгруппе Следовательно, для любого нормального ряда

цепочка

также является нормальным рядом. Если, в частности, - (т. е. если ряд (8) является нормальным рядом группы О), а отображение мономорфно, то (т. е. ряд является нормальным рядом группы О).

Таким образом, при каждом мономорфизме любому нормальному ряду

группы O соответствует некоторый нормальный ряд

группы О.

Заметим, что для любого мономорфизм индуцирует некоторый мономорфизм

Следовательно, факторы ряда (11) изоморфны подгруппам факторов ряда (10).

Пусть теперь О — произвольная группа и

— некоторый ее нормальный ряд. Предположим, что для любого соответствующей фактор группе задан нормальный ряд

Рассмотрим естественный эпиморфизм

(определенный формулой ) . При этом эпиморфизме ряду (13) соответствует нормальный ряд

Вставив для каждого между членами и ряда (12) ряд (14), мы, очевидно, снова получим нормальный ряд группы О. Этот нормальный ряд называется уплотнением ряда (12) с помощью рядов (13).

Любой фактор этого ряда имеет вид

и потому, согласно обобщенной теореме о гомоморфизмах (см. п. 1), изоморфен факторгруппе

Таким образом, факторы уплотненного ряда изоморфны факторам уплотняющих рядов (13).

Так как любая непростая группа обладает нетривиальными (т. е. содержащими нетривиальные подгруппы) нормальными рядами, то любой нормальный ряд, имеющий хотя бы один непростой фактор, обладает нетривиальными (т. е. не сводящимися к повторениям) уплотнениями. Наоборот, если все факторы нормального ряда являются простыми группами, то все уплотнения этого нормального ряда сводятся к повторениям.

В заключение обратим внимание на определенный параллелизм между доказанными в этом пункте теоремами, относящимися к эпиморфизмам, и теоремами, относящимися к мономорфизмам. Весьма глубокие основания этого параллелизма мы здесь выяснять не можем.