II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ
ГЛАВА 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ГРУПП
1. Обобщение теоремы о гомоморфизмах
Пусть
— произвольный гомоморфизм и
— некоторая подгруппа группы О. Рассмотрим совокупность
всех элементов группы О, переходящих при гомоморфизме
в элементы подгруппы
. Таким образом,
тогда и только тогда, когда
Очевидно, что подмножество Н является подгруппой группы О. Эта подгруппа обозначается через
и называется полным прообразом подгруппы Н при гомоморфизме
. В этой терминологии ядро гомоморфизма
есть не что иное, как полный прообраз единицы
группы О.
Легко видеть, что полный прообраз
нормального делителя Н группы О является нормальным делителем группы О (доказать!). Так как
то определен индуцированный гомоморфизм
Без труда проверяется (см. ч. I, гл. 2, п. 4, где разобран случай
что гомоморфизм
является мономорфизмом. Таким образом, для любого гомоморфизма
и любого нормального делителя
индуцированный гомоморфизм
где
является мономорфизмом, если отображение
эпиморфно, то отображение
изоморфно.