3. Радикальные расширения

Расширение К основного поля называется радикальным расширением, если существует такая цепочка

вложенных друг в друга подполей поля К, начинающаяся с поля Р и кончающаяся полем К, что для любого поле является простым радикальным расширением поля Цепочка (1) называется при этом радикальным рядом.

Подчеркнем, что радикальное расширение может обладать многими различными радикальными рядами.

Несмотря на то, что в радикальном ряду (1) каждое поле является нормальным расширением поля все поле может не быть нормальным расширением поля Р. Это связано с тем, что, вообще говоря, нормальное расширение нормального расширения не является нормальным расширением основного поля.

Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы нормальное расширение нормального расширения было нормальным расширением основного поля, указывается следующей леммой.

Лемма. Пусть Р — произвольное поле, L — его нормальное расширение и К — нормальное расширение поля L. Оказывается, что поле К тогда и только тогда является нормальным расширением поля Р, когда над полем Р существует многочлен, полем разложения которого над полем L является поле К.

Действительно, если поле К нормально над полем Р, то существует такой многочлен с коэффициентами из поля Р, что

где — все корни многочлена . Тогда

(ибо ), а с другой стороны,

. Следовательно,

т. е. К является полем разложения многочлена над полем

(Заметим, что нормальность поля L мы в этом рассуждении не использовали.)

Обратно, пусть

где — все корни некоторого многочлена над полем Р.

Так как поле L, по условию, нормально над Р, то существует такой многочлен с коэффициентами из поля Р, что

где — все корни многочлена . Тогда

Так как числа исчерпывают все корни многочлена , то равенство (2) означает, что поле К является полем разложения многочлена с коэффициентами из поля Р и, следовательно, является нормальным расширением поля Р. Тем самым лемма полностью доказана.

Мы будем называть поле К нормальным радикальным расширением поля Р, если оно является нормальным и одновременно радикальным расширением этого поля. Связь нормальных радикальных расширений с произвольными радикальными расширениями описывается следующей теоремой.

Любое радикальное расширение К поля Р содержится в некотором нормальном радикальном расширении К.

Мы докажем эту теорему индукцией по длине s радикального ряда (1), которым обладает радикальное расширение К. Если то К является простым радикальным, а потому и нормальным расширением поля Р. Поэтому в этом случае за поле К можно принять само поле К.

Предполагая теперь, что теорема уже доказана для всех радикальных расширений, обладающих радикальными рядами длины рассмотрим радикальное расширение К с радикальным рядом (1) длины s. Так как поле является радикальным расширением поля Р с радикальным рядом длины то, по предположению индукции, существует нормальное радикальное расширение L, содержащее поле

По условию поле является простым радикальным расширением поля , т. е.

где С — первообразный корень из единицы некоторой степени , а — произвольный корень уравнения

Рассмотрим минимальный многочлен числа (3 над полем Р. Так как поле L нормально и то L содержит все корни многочлена . Для любого рассмотрим уравнение

Пусть — произвольный корень этого уравнения (для положим и пусть

Так как то поле К содержит поле К:

Далее, над полем L поле К обладает радикальным рядом

где

(при можно даже считать, что ) ибо По условию поле L является радикальным расширением поля Р, т. е. обладает радикальным рядом, начинающимся с поля Р и кончающимся полем L. Продолжая этот ряд рядом (3), мы, очевидно, получим радикальный ряд поля К, начинающийся с поля Р. Тем самым доказано, что поле К является радикальным расширением поля Р.

Наконец, рассмотрим многочлен . Коэффициенты этого многочлена принадлежат полю Р. Так как

то числа являются корнями многочлена . Все остальные корни этого многочлена получаются из корней умножением на корни из единицы степени , т. е. умножением на степени первообразного корня Поэтому поле К содержит все корни многочлена , т. е. содержит его поле разложения Q над полем L. С другой стороны, , так что . Следовательно, , т. е. К является полем разложения над полем L многочлена

Поскольку поле L является нормальным расширением поля Р, а многочлен является многочленом над полем Р, то отсюда, согласно лемме, следует, что поле К нормально над полем Р.

Таким образом, мы нашли поле К, содержащее поле К и являющееся нормальным радикальным расширением поля Р. Тем самым сформулированная выше теорема полностью доказана.