3. Порядок группы Галуа

Пусть К — произвольное нормальное расширение поля Р. Согласно гл. 1, п. 7. расширение К является простым алгебраическим расширением, т. е. в К существует такой элемент , что

Степень минимального многочлена элемента равна степени поля К над полем Р. Любой элемент а поля К имеет однозначную запись вида

Как доказано в предыдущем пункте, любой автоморфизм S из группы Галуа переводит корень снова в корень многочлена

Другими словами, каждому автоморфизму соответствует некоторый корень многочлена (при выбранном корне ). Изучим это соответствие подробнее.

Пусть — произвольный корень многочлена Так как поле К нормально и , то Определим преобразование S поля К в себя, положив для любого элемента (1) из этого поля

Так как запись элемента а в виде (1) однозначна, то формула (2) определяет элемент единственным образом.

Определение преобразования S можно, очевидно, сформулировать следующим образом: если

где — многочлен над полем Р, имеющий степень, меньшую , то

Рассмотрим теперь над полем Р многочлен произвольной степени, и пусть

Разделим (с остатком) многочлен на многочлен :

Полагая в этом равенстве , мы получим, поскольку что

Так как степень многочлена меньше , то отсюда вытекает, что

С другой стороны, полагая в формуле мы получим, что

Следовательно,

Таким образом,

независимо от того, какова степень многочлена g(x).

Пусть теперь

— произвольные элементы поля К. Тогда

и, следовательно,

Таким образом, преобразование S сохраняет сумму и произведение, т. е. обладает свойствами (1) п. 2. Кроме того, это преобразование, очевидно, оставляет все элементы поля Р на месте. Поэтому (см. замечание к п. 2) преобразование S является автоморфизмом поля К над полем Р, т. е. принадлежит группе Галуа .

Тот факт, что преобразование S является автоморфизмом, т. е., кроме свойств (1) п. 2, обладает также и свойством взаимной однозначности, можно доказать и не пользуясь замечанием к п. 2. Действительно, рассмотрим поле Так как , то

С другой, стороны, степень поля над полем Р равна степени многочлена т. е. равна степени поля К. Следовательно,

Отсюда следует, что наряду с записью (1) любой элемент a поля К имеет однозначную запись вида

где

Определим теперь преобразование S поля К в себя, положив для любого элемента (4) из этого поля

Так как, очевидно,

(т. е. ), то преобразование S является, как и утверждалось, взаимно однозначным преобразованием поля К на себя (ибо из следует, что т. е. что и для любого элемента существует такой элемент , именно что т. е. является автоморфизмом.

Построенный автоморфизм S переводит корень в корень :

т. е. этот автоморфизм соответствует корню в указанном выше смысле. Таким образом, доказано, что для любого корня многочлена существует в группе Галуа автоморфизм, которому этот корень соответствует. Оказывается, что автоморфизм однозначно определяется соответствующим корнем, т. е. если

то

Действительно, если то т. е. автоморфизм оставляет корень на месте и, следовательно, оставляет на месте любое выражение вида

т. е. оставляет на месте любой элемент поля К. Таким образом, и потому

Итак, элементы группы Галуа (т. е. автоморфизмы поля К над полем Р) находятся во взаимно однозначном соответствии с корнями многочлена и, следовательно, их число, т. е. порядок группы , равно числу корней многочлена , т. е. равно (все корни многочлена ) различны, так как этот многочлен неприводим). Тем самым мы доказали, что порядок группы Галуа равен степени поля К над полем Р.