2. Циклические расширения

Нормальное расширение К поля Р называется циклическим расширением, если его группа Галуа является циклической группой. Примером циклического расширения может служить простое радикальное расширение, определяемое двучленным уравнением степени , при условии, что основное поле Р содержит первообразный корень степени из единицы (см. п. 1). Степень этого расширения, вообще говоря, меньше . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда уравнение (1) из п. 1, определяющее данное простое радикальное расширение, неприводимо.

Целью этого пункта является доказательство следующего «обратного» утверждения.

Если поле Р содержит первообразный корень степени из единицы, то лфбое его циклическое расширение К степени является простым радикальным расширением, которое определяется неприводимым двучленным уравнением степени .

Доказательству этого утверждения мы предпошлем несколько предварительных замечаний.

Пусть С — первообразный корень степени я из единицы, а S — некоторая образующая группы (эта группа, по предположению, циклична, т. е. ее элементы исчерпываются степенями ). Любому элементу а поля К отнесем элемент

т. е. элемент

где t — некоторое целое число. Элемент мы будем называть резольвентой Лагранжа элемента а, соответствующей числу

В первую очередь мы рассмотрим резольвенту

соответствующую числу 1.

Так как а то Следовательно, в соответствии Галуа полю отвечает некоторая подгруппа Н группы (именно, ). Являясь подгруппой циклической группы, группа Н циклична. За ее образующую можно принять элемент , где d — индекс подгруппы Н. Так как то и, следовательно, для любых . Поэтому, обозначая через порядок подгруппы Н, мы получим, что

Но если , то , и потому

ибо

Таким образом, если , то . Следовательно, если , то . С другой стороны, равенство означает, что , т. е. что Тем самым доказано, что если , то

В связи с этим утверждением естественно возникает вопрос о существовании таких элементов , что (Следует иметь в виду, что из ) еще не вытекает, что . Для ответа на этот вопрос мы воспользуемся теоремой, доказанной в ч. I, гл. 1, п. 7. Согласно этой теореме в поле К существует такой элемент 0, что

Так как то является корнем неприводимого уравнения степени . Мы покажем, что хотя бы одна из резольвент

отлична от нуля.

Действительно, если все резольвенты (1) равны нулю, т. е. если

то, поскольку

определитель

равен нулю (его столбцы линейно зависимы).

С другой стороны, так как отображение S является автоморфизмом, то

Следовательно, написанный выше определитель можно переписать в следующем виде:

Полученный определитель представляет собой определитель

Вандермонда элементов (см. Курс, стр. 50).

Как известно, он равен произведению всевозможных разностей этих элементов. Но мы знаем, что среди этих элементов нет одинаковых (ибо если см. ч. I гл. 3, п. 3). Поэтому определитель (2) отличен от нуля. Однако выше было показано, что он равен нулю. Полученное противоречие доказывает, что все резольвенты (1) не могут быть одновременно равны нулю.

Таким образом, в поле К существует такой элемент а, что .

Рассмотрим теперь для элемента а с резольвенту , соответствующую произвольному целому числу t. Применяя к резольвенте

автоморфизм S и учитывая, что мы получим, что

(ибо ), т. е.

(ибо ).

В частности,

Возводя это равенство в степень и учитывая, что S является автоморфизмом, мы получим, что

Разделив равенство (3) на равенство (4) (напомним, что по условию ) , мы получим, что

т. е. автоморфизм S оставляет на месте число

Ясно, что любая степень автоморфизма S также оставляет число на месте. Другими словами, любой элемент группы (т. е. любой автоморфизм поля К над полем Р) оставляет число на месте (ибо вся группа исчерпывается, по определению, степенями автоморфизма S), и следовательно, (см. ч. I, гл. 3, п. 4). Тем самым доказано, что для любого t в поле Р существует такой элемент что

Следовательно, все элементы принадлежат полю где .

Найдем теперь сумму всех резольвент Лагранжа для . Имеем

Но если , т. е. если , то

ибо

Таким образом, в сумме (3) отличны от нуля только члены, соответствующие , т. е.

Поскольку из этой формулы следует, что , так что , т. е.

Так как, с другой стороны, , то

Наконец, полагая в формуле (4) и учитывая, что мы получим, что

откуда следует (см. выше аналогичные рассуждения для чисел ), что Таким образом, полагая мы видим, что число (3 является корнем двучленного неприводимого (почему?) уравнения

Тем самым доказано, что поле К является простым радикальным расширением, определяемым неприводимым двучленным уравнением, т. е. доказано сформулированное в начале этого пункта утверждение.

Строение циклических расширений в общем случае (когда основное поля Р не содержит нужных корней из единицы) будет изучено в п. 4.