ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В НЕПРИВОДИМЫХ РАДИКАЛАХ

1. Формулировка основной теоремы

Тот факт, что корень некоторого уравнения выражается в радикалах, означает, что он может быть получен в результате решения цепи двучленных уравнений вида

где число i! принадлежит основному полю Р, число — полю число полю и т. д. Таких «разрешающих» цепей двучленных уравнений может существовать, вообще говоря, много. Интересен вопрос: существует ли разрешающая цепь, состоящая из неприводимых уравнений? В случае, когда такая цепь существует, мы будем говорить, что корень б выражается в неприводимых радикалах.

На первый взгляд кажется, что класс уравнений, корни которых выражаются в неприводимых радикалах, значительно уже класса уравнений, корни которых выражаются в любых радикалах. Действительно, разрешающие цепи двучленных уравнений, построенные согласно методам, изложенным в ч. II. гл. 2, обязательно содержат приводимые уравнения вида

корнями которых служат корни из единицы (этих уравнений не будет только в том случае, когда основное поле Р содержит все нужные корни из единицы), и как обойтись без этих уравнений, а приори совершенно не ясно.

Тем не менее оказывается, что если корень некоторого уравнения выражается в радикалах, то он выражается и в неприводимых радикалах.

Эта важная теорема позволяет оценить «сложность» любого разрешимого в радикалах уравнения. Именно за меру сложности можно принять набор степеней неприводимых радикалов, через которые выражается корень данного уравнения. (Вопрос о том, в какой мере этот набор степеней определяется данным уравнением, мы здесь не рассматриваем.)

Доказательству сформулированной теоремы будет посвящена вся эта глава. Мы проведем его в рамках теории полей, и потому в первую очередь нам нужно сформулировать эту теорему на языке теории полей.

Расширение К основного поля Р мы будем называть неприводимо-радикальным расширением, если существует такая цепочка

вложенных друг в друга подполей поля К, начинающаяся с поля Р и кончающаяся полем К, что для любого

где — корень некоторого неприводимого (над полем ) уравнения вида

Интересующую нас теорему мы можем теперь сформулировать в следующем виде (в котором мы и будем ее доказывать):

любое радикальное расширение содержится в некотором неприводимо-радикальном расширении.

Задача. Доказать, что имеет место следующее «обратное» утверждение: любое неприводимо-радикальное расширение содержится в некотором радикальном расширении.