III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГАЛУА

ГЛАВА 1. ПРАКТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП ГАЛУА УРАВНЕНИЙ

1. Задание групп подстановок степени n многочленами от n неизвестных

Пусть произвольный многочлен (с коэффициентами из основного поля Р) от переменных и пусть

— произвольная подстановка степени . Воздействуя на неизвестные подстановкой а, мы получим из многочлена многочлен

(см. ч. I, гл. 3, п. 1). Мы будем говорить, что многочлен принадлежит подстановке а, если многочлен совпадает с многочленом .

Любой многочлен принадлежит тождественной подстановке . Многочлен, принадлежащий всем подстановкам степени , является симметрическим многочленом.

Пусть теперь О — произвольная группа подстановок степени . Мы будем говорить, что многочлен принадлежит группе О, если он принадлежит (в смысле предыдущего определения) любой подстановке из группы О.

Ясно, что, если многочлен принадлежит группе О, то он принадлежит и любой подгруппе Н этой группы. Мы будем говорить, что многочлен точно принадлежит группе О, если он не принадлежит никакой большей группе.

Легко видеть, что любой многочлен от неизвестных точно принадлежит одной (и только одной) группе О подстановок степени . Эта группа состоит из всех подстановок для которых .

Покажем теперь, что многочлен тогда и только тогда точно принадлежит группе О, когда для любых двух подстановок а и b степени из равенства вытекает включение , и обратно, из включения вытекает равенство .

Действительно, если , то и потому для многочлена g, точно принадлежащего группе О, равенство имеет место тогда и только тогда, когда . Обратно, если равенство имеет место тогда и только тогда, когда , то, полагая мы получим, что равенство имеет место тогда и только тогда, когда , т. е. получим, что многочлен g точно принадлежит группе О.

Будем говорить, что подстановки

составляют полную систему представителей смежных классов симметрической группы по ее подгруппе О, если все смежные классы

различны и любой смежный класс группы по подгруппе О среди них содержится. Таким образом, число равно индексу группы О в группе

Из доказанной выше теоремы немедленно вытекает, что многочлен тогда и только тогда точно принадлежит группе О, когда для любой полной системы (1) представителей смежных классов группы по подгруппе О все многочлены

попарно различны и любой многочлен вида среди них содержится,

Покажем теперь, что для произвольной группы О подстановок степени существует (над любым полем Р) многочлен точно принадлежащий этой группе.

С этой целью мы рассмотрим многочлен

где — произвольные попарно различные элементы поля Р. Ясно, что для любой нетождественной подстановки а степени многочлен отличен от многочлена h. Другими словами, многочлен h точно принадлежит единичной подгруппе

Пусть теперь

— все подстановки группы О. Рассмотрим многочлен от неизвестных определенный формулой

Этот многочлен можно рассматривать либо как многочлен над полем Р от неизвестных либо как многочлен от неизвестных над полем рациональных функций от t (с коэффициентами из поля Р), либо, наконец, как многочлен от одного неизвестного t над полем рациональных функций от неизвестных (с коэффициентами из поля Р).

Рассматривая его как многочлен над полем мы можем воздействовать на него подстановками а степени , получая многочлены . Рассматривая его как многочлен от t над полем мы можем говорить о его корнях. Ясно, что этими корнями служат многочлены . В этом же смысле корнями многочлена являются многочлены

Так как набор многочленов тогда и только тогда совпадает (с точностью до порядка) с набором когда , то тогда и только тогда, когда Другими словами, многочлен (рассматриваемый как многочлен от над полем ) точно принадлежит группе

Пусть теперь

— произвольная полная система представителей смежных классов группы по ее подгруппе О. Тогда все многочлены

попарно различны и любой многочлен вида равен одному из этих многочленов. Поскольку поле Р бесконечно (оно содержит все рациональные числа), в нем можно найти такое число что многочлены

над полем Р от неизвестных будут все попарно различны (число следует взять отличным от корней каждого из многочленов рассматриваемых как многочлены от t над полем Таким образом, многочлен

(над полем Р) будет обладать тем свойством, что равенство имеет место тогда и только тогда, когда для многочлена (над полем ) имеет место равенство Отсюда следует, что поскольку многочлен точно принадлежит группе О, многочлен g также обладает этим свойством.

Теорема полностью доказана.

Так как многочлен, точно принадлежащий группе, однозначно эту группу определяет, а, согласно только что доказанной теореме, такой многочлен существует для любой группы подстановок, то мы можем задавать группы подстановок, выписывая многочлены, точно им принадлежащие.