6. Группа Галуа нормального подполя

Пусть промежуточное поле L является нормальным расширением основного поля Р. Тогда для любого элемента и любого автоморфизма элемент также принадлежит полю L (ибо он сопряжен с а; см. п. 2). Поэтому формула

определяет некоторое преобразование S поля L в себя. Легко видеть, что преобразование S является автоморфизмом поля L над полем Р, т. е. элементом группы Галуа поля L над полем Р. (Автоморфизмы S и S' действуют в поле L одинаково; различие между ними состоит в том, что автоморфизм S определен во всем поле К, а автоморфизм S — только в поле )

Очевидно, что

т. е. что соответствие

является гомоморфным отображением группы в группу . Ядро этого отображения состоит из автоморфизмов S, оставляющих на месте каждый элемент поля L, т. е. ядром является группа Галуа поля К над полем L. Так как ядро любого гомоморфизма является нормальным делителем, то, следовательно, подгруппа группы Галуа , соответствующая нормальному промежуточному полю L (т. е. группа Галуа поля К над полем L), является нормальным делителем группы .

Пусть теперь - промежуточное поле, соответствующее произвольному нормальному делителю Н группы .

Так как для любого автоморфизма и любого автоморфизма автоморфизм принадлежит Н, то для любого числа

то

Так как Т — произвольный автоморфизм из Н, то отсюда следует, что Таким образом, все элементы, сопряженные каждому элементу , принадлежат L, т. е. L нормально над Р. Тем самым доказано, что подполе нормального поля К, соответствующее нормальному делителю группы Галуа поля К над полем Р является нормальным расширением поля Р.

Таким образом, в соответствии Галуа нормальным подполям соответствуют нормальные делители, и обратно.

Вернемся теперь к рассмотрению гомоморфизма (1). Пусть G — его образ, т. е. подгруппа группы , состоящая из автоморфизмов вида S. Согласно теореме о гомоморфизмах (см. гл. 2, п. 4), гомоморфизм (1) индуцирует изоморфное отображение факторгруппы на группу G. Следовательно, порядок группы G равен индексу подгруппы в группе . Но этот индекс равен (почему?) степени поля L над полем Р, т. е. равен порядку группы . Таким образом, порядок подгруппы G равен порядку всей группы , откуда, следует, что Тем самым доказано, что отображение (1) эпиморфно. Индуцированный им гомоморфизм является, следовательно, изоморфным отображением факторгруппы на группу . Таким образом, группа Галуа нормального промежуточного поля L над полем Р изоморфна факторгруппе группы Галуа поля К над полем Р по группе Галуа поля К над полем