ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ

1. Транзитивные группы подстановок

Начнем с доказательства следующей общей теоремы: Порядок транзитивной группы подстановок степени делится на .

Действительно, пусть О — произвольная транзитивная группа подстановок степени . Разобьем группу О на непересекающиеся класдл, относя в один класс все подстановки, одинаково воздействующие число 1. В силу транзитивности группы число этих классов равно . Пусть Н — класс, состоящий из подстановок группы О, оставляющих на месте число 1. Очевидно, что этот класс является подгруппой группы О. Две подстановки тогда и только тогда принадлежат одному классу, когда т. е. когда подстановки принадлежат одному смежному классу группы О по подгруппе Н. Другими словами, рассматриваемые классы совпадают со смежными классами по подгруппе Н. Следовательно, индекс подгруппы Я равен . Поскольку группа О обладает подгруппой индекса , ее порядок делится на . Теорема доказана.

Простейшими транзитивными группами являются циклические группы. Очевидно, что циклическая группа подстановок степени тогда, и только тогда транзитивна, когда ее образующей служит цикл длины .

В частности, порядок такой группы равен

Легко видеть, что число всех циклов длины равно

Действительно, любой цикл длины единственным образом записывается в виде (), где — некоторая перестановка чисел

Поскольку циклическая группа порядка содержит образующих (см. стр. 63), отсюда вытекает, что число всех циклических транзитивных групп подстановок степени равно

В частности, при это число равно шести.