ГЛАВА 2. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП

1. Определение группы

Говорят, что в непустом множестве G определена алгебраическая операция, если задано правило, по которому любым двум элементам ставится в соответствие некоторый однозначно определенный элемент . Элемент с обычно обозначается через в связи с чем рассматриваемая алгебраическая операция называется умножением. Иногда элемент с обозначается через и тогда алгебраическая операция называется сложением. Мы, как правило, будем пользоваться первой, мультипликативной записью.

Множество G с алгебраической операцией называется группой, если

1) для любых элементов

2) существует такой элемент , что

для любого элемента ;

3) для любого элемента существует такой элемент что

Условие 1) (закон ассоциативности) позволяет однозначным образом определить произведение любого конечного числа элементов группы, т. е. позволяет доказать независимость произведения любых элементов от первоначального распределения скобок. Детальное доказательство см. Курс, стр. 272.

В частности, можно, говорить о произведении равных между собой элементов, т. е. ввести понятие о степени элемента с целым положительным показателем.

Элемент , предусмотренный условием 2), называется единицей группы и иногда обозначается через 1. Легко видеть, что единица группы определена однозначно, т. е. если элементы s и группы обладают свойством 2), то . Действительно, так как обладает свойством 2), то . Аналогично, Следовательно,

Элемент предусмотренный условием 3), называется обратным к элементу а. Легко видеть, что для любого элемента а обратный элемент определен однозначно, т. е. если то (действительно, ). Кроме того, для любого элемента и любого целого положительного

Мы вводим степени элемента а с целыми отрицательными коэффициентами, полагая

Кроме того, полагаем

Легко проверяется, что все обычные правила действий со степенями одного элемента остаются справедливыми в любой группе.

Подчеркнем, что справедливость в группе закона коммутативности вообще говоря, не предполагается. Группы, в которых операция удовлетворяет этому закону, называются коммутативными или абелевыми.

В абелевых группах правила действий над степенями сохраняются и для степеней нескольких элементов. В частности, для любых двух элементов а и b абелевой группу и любого целого имеет место равенство

Если операция, заданная в группе, обозначена знаком , т. е. если группа задана в аддитивной записи, то элемент Называется нулем и обозначается обычно символом 0.

Аналогично элемент обозначается в этом случае через — а и называется противоположным элементом, а элемент обозначается через и называется -кратным элементу а. Как правило, аддитивная запись группы используется лишь для абелевых групп.