ГЛАВА 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ

1. Основная теорема теории геометрических построений

Известно, что любая элементарно-геометрическая фигура определяется (с точностью до положения) длинами некоторых отрезков. Например, окружность определяется ее радиусом, угол — его линией косинуса (в круге единичного радиуса) и т. п. Следовательно, любая задача на построение сводится к задаче построения по некоторым числам (длинам данных отрезков) новых чисел (длин искомых отрезков). В связи с этим естественно возникает задача описания всех чисел, являющихся длинами отрезков, которые можно получить из данных отрезков геометрическими построениями с помощью тех или иных чертежных средств. Мы ограничимся здесь классической постановкой этой задачи, когда за основные чертежные средства принимаются циркуль переменного раствора и односторонняя линейка без делений.

Пусть — длины данных отрезков (поскольку выбор единицы длины находится всецело в нашем распоряжении, мы можем считать, что один из данных отрезков имеет длину 1). Мы скажем, что положительное действительное число может быть построено (исходя данных чисел ), если, отправляясь от отрезков длин можно с помощью только циркуля и линейки построить отрезок длины .

Замечание. Строго говоря, для придания этому определению точного смысла, нам. необходимо предварительно детально описать, что мы понимаем под выражением «построить отрезок с помощью циркуля и линейки». Мы этого делать не будем, поскольку, с одной стороны, такое описание можно найти в любом курсе теории геометрических построений, а с другой стороны, оно нам, по существу, не нужно.

Для наших целей вполне достаточно наивного «школьного» представления о значении этого выражения. Читатель, знакомый с современным, формальным, определением понятия «построить отрезок циркулем и линейкой», без труда сможет сам изложить все дальнейшее в том же формальном стиле.

Как известно, циркулем и линейкой можно, в частности, построить 1) сумму двух или нескольких отрезков, 2) разность двух отрезков, 3) отрезок четвертый пропорциональный к трем данным отрезкам (этот отрезок выражается формулой , где а, b и с — данные отрезки), 4) отрезок средний пропорциональный к двум данным отрезкам (этот отрезок выражается формулой где а и b — данные отрезки). Отсюда вытекает, что следующие действия над числами можно осуществить с помощью циркуля и линейки:

1) действие сложения,

2) действие вычитания (для случая, когда уменьшаемое больше вычитаемого),

3) действие умножения (сводится к построению отрезка четвертого пропорционального к отрезкам а, b и 1),

4) действие деления (сводится к построению отрезка четвертого пропорционального к отрезкам а, 1 и с),

5) действие извлечения квадратного корня (арифметического) из положительного числа (сводится к построению отрезка среднего пропорционального к отрезкам а и 1).

Мы будем называть эти действия примитивными. Положительное число мы будем называть примитивным, если его можно получить из чисел применяя (любое конечное число раз) примитивные действия. Оказывается, что примитивными действиями, по существу, исчерпываются все действиянад положительными числами, которые можно осуществить циркулем и линейкой. Именно, имеет место следующая основная теорема.

Число тогда и только тогда можно построить (исходя из чисел ), когда это число примитивно.

Достаточность этого условия немедленно следует из всего сказанного выше. Поэтому мы должны доказать лишь его необходимость.

Для этого нам удобно несколько расширить список примитивных действий. Рассмотрим следующие действия (над не обязательно положительными числами):

1) сложение,

2) вычитание (производимое без всяких ограничений),

3) умножение,

4) деление,

5) извлечение квадратного корня (арифметического) из положительного числа.

Мы будем называть эти действия пифагоровыми (таким образом, пифагоровы действия отличаются от примитивных лишь тем, что вычитание производится без всяких ограничений).

Запас чисел, которые можно получить из чисел пифагоровыми действиями (будем впредь называть эти числа пифагоровыми), безусловно больше запаса чисел, которые можно получить из тех же чисел примитивными действиями (т. е. запаса примитивных чисел). Например, все примитивные числа положительны (напомним, что исходные числа по условию положительны), тогда как среди пифагоровых чисел имеются и отрицательные. Однако оказывается, что любое пифагорово положительное число примитивно, так что в области положительных чисел пифагоровы действия не дают ничего нового (по сравнению с примитивными).

Для доказательства этого утверждения мы должны более внимательно исследовать строение пифагоровых чисел. Каждое пифагорово число f получается из исходных чисел в результате применения некоторого набора пифагоровых действий. Пусть — наименьшее число пифагрровых действий, необходимых для получения числа f. Это число мы будем называть рангом пифагорова числа f. Ранг, равный нулю, имеют исходные числа и только они. Число имеет ранг, равный единице (ибо Числа противоположные исходным числам имеют ранг, не больший двух (ибо, например, Вообще, если число имеет ранг , то ранг числа — не превосходит Однако ранг числа — может быть и меньше Например, если пифагорово число у ранга отрицательно, то ранг числа — (т. е. числа ) не превосходит .

Мы докажем это утверждение индукцией по рангу числа у. Если то число у не может быть отрицательным, так что в этом случае рассматриваемое утверждение справедливо (потому что бессодержательно). Пусть оно уже доказано для всех чисел ранга, меньшего чем . Любое число у ранга выражается через некоторые числа и меньших рангов по одной из следующих формул:

причем для отрицательного случай д) невозможен, а в каждом из остальных четырех случаев числа и можно выбрать так, чтобы их ранги были связаны с рангом числа у соотношением

Задача. Докажите это утверждение.

Очевидно, что число — выражается через числа тем формулам (однако, например, формула а) может перейти в формулу б) и наоборот). Следовательно, ранг числа — у не превосходит числа где ранги чисел соответственно. Заметим, что ранг вполне может быть меньше суммы Если число положительно, то и потому Если же оно отрицательно, то, по предположению индукции, Таким образом, во всех случаях Аналогично и потому . Тем самым высказанное утверждение полностью доказано.

Докажем теперь сформулированное выше утверждение о примитивности положительных пифагоровых чисел. Для чисел нулевого ранга оно, очевидно, справедливо. Пусть это утверждение уже доказано для всех положительных пифагоровых чисел раша, меньшего чем .

Любое положительное пифагорово число принадлежит к одному из пяти типов (1). Если оно принадлежит типу д), т. е. имеет вид , то число также положительно. Кроме того, его ранг равен и потому, по предположению индукции, число примитивно. Следовательно, число также примитивно. Если число у принадлежит типу в), или типу г), т. е. имеет вид или , то либо оба числа и положительны (и потому, по предположению индукции, примитивны), либо оба они отрицательны, и тогда (или соответственно ). Но, согласно доказанному выше утверждению, ранги чисел не превосходят соответственно рангов чисел и . Следовательно, по предположению индукции, числа — примитивны. Таким образом, число получается из. примитивных чисел действиями умножения или деления, и потому само является примитивным числом. Случай, когда число принадлежит типу а) или типу б), рассматривается аналогично.

В силу доказанного предложения мы можем теперь сформулировать нашу основную теорему в следующем виде:

число тогда и только тогда может быть построено, когда оно пифагорово.

Как уже упоминалось, достаточность условия этой теоремы очевидна (если, конечно, знать, что положительные пифагоровы числа совпадают с примитивными), так что мы должны доказать лишь его необходимость, т. е. должны доказать, что если число может быть построено, то оно пифагорово.

С этой целью мы выберем на рассматриваемой плоскости (в которой производятся все построения) некоторую декартову систему координат. Будем называть точку плоскости пифагоровой точкой, если обе ее координаты являются пифагоровыми числами. Данные отрезки (длин ) мы отложим на положительной оси абсцисс так, чтобы левым концом каждого отрезка служило начало координат. Тогда их правые концы будут являться пифагоровыми точками. С другой стороны, ясно, что если концы некоторого отрезка являются пифагоровыми точками, то его длина выражается пифагоровым числом. Кроме того, задача построения отрезка равносильна задаче построения его концов.

Поэтому для доказательства того, что если число 5 может быть построено, то оно пифагорово, достаточно доказать, что каждая точка, получающаяся из пифагоровых точек геометрическими построениями с помощью циркуля и линейки, сама является пифагоровой точкой.

Оказывается, что аналогичное утверждение имеет место и для других элементарно-геометрических образов (прямых и окружностей). Назовем прямую или окружность пифагоровой, если все коэффициенты ее канонического уравнения (т. е. уравнения или для прямой и уравнения для окружности) являются пифагоровыми числами. Тогда имеет место следующее общее предложение:

каждая точка, прямая или окружность, получающаяся из пифагоровых точек в результате некоторого построения циркулем и линейкой, пифагорова.

На первый взгляд кажется, что это утверждение заведомо ложно (впрочем, строго говоря, это действительно так). Дело в том, что, как правило, любое построение содержит некоторый элемент произвола (например, берутся произвольные точки, проводятся окружности произвольного радиуса и т. п.), и, конечно, этот произвол может повлечь появление не пифагоровых образов. Однако мы можем ограничить этот произвол и выбирать «произвольные» образы лишь среди пифагоровых. При этом условии высказанное возражение автоматически отпадает.

Однако здесь появляется другая трудность. В некоторых построениях свобода в выборе «произвольных» образов часто ограничена дополнительными условиями (выбираемая точка должна лежать внутри некоторой фигуры, радиус окружности должен быть не меньше некоторого числа и т. п.) и а приори неясно, можно ли совместить эти условия с условием пифагоровости. По этому поводу можно заметить следующее. Во-первых, в любом построении достаточно произвольно выбирать лишь точки (ибо выбор, например, произвольной прямой сводится к выбору двух любых ее точек). Во-вторых, любое условие на выбор точки, могущее возникнуть при элементарно-геометрическом построении, требует, чтобы точка либо принадлежала некоторой уже построенной фигуре, либо лежала вне некоторой другой такой фигуры, наконец, удовлетворяла обоим этим условиям.

Поэтому, если мы предположим, что наше утверждение справедливо для построений, не содержащих произвола, то в построении, содержащем произвол, нам придется выбирать точку на некоторой пифагоровой (т. е. состоящей из пифагоровых точек, прямых и окружностей) фигуре, возможно, вне некоторой другой (но также пифагоровой) фигуры. Однако, поскольку среди чисел содержится число 1, среди пифагоровых чисел содержатся все рациональные числа, и потому пифагоровы точки расположены на плоскости «всюду плотно». Поэтому вне любой фигуры пифагорову точку найти всегда можно. Далее, легко видеть, что пересечение двух пифагоровых прямых или окружностей (пересекающихся в конечном числе точек) состоит из пифагоровых точек (ибо координаты этих точек получаются из коэффициентов пересекающихся прямых или окружностей в результате решения линейных или квадратных уравнений). Поэтому, для того чтобы найти на некоторой пифагоровой фигуре пифагорову точку, достаточно найти пифагорову прямую, имеющую с этой фигурой хотя бы одну общую точку. Ясно, что такая прямая всегда существует (даже в классе прямых с рациональными коэффициентами). Более того, таких прямых настолько много, что всегда можно найти прямую, пересекающую данную фигуру в точке, не лежащей на любой другой фигуре. Таким образом, при любом построении выбор «произвольных» точек всегда можно осуществить в классе пифагоровых точек.

Отсюда следует, что наше предложение можно доказывать лишь для построений, не содержащих произвола. Но любое такое построение сводится к ряду построений:

1) общих точек (если они существуют) двух уже построенных прямых или окружностей;

2) прямой, проходящей через две уже построенные точки;

3) окружности с центром в построенной точке и радиусом, равным расстоянию между двумя построенными точками.

Как мы уже видели, построения 1) пифагоровы образы переводят в пифагоровы. Аналогичным свойством обладают, очевидно, и построения 2) и 3) (ибо, например, коэффициенты уравнения прямой, проходящей через две точки, рационально выражаются через координаты этих точек). Следовательно, при любом сколь угодно сложном построении мы, исходя из пифагоровых точек, будем получать лишь пифагоровы точки, прямые и окружности.

Наше утверждение (а вместе с ним и основная теорема) полностью доказано.

Полученное необходимое и достаточное условие возможности построения отрезка имеет дело, по существу, лишь с положительными числами и потому плохо приспособлено для анализа средствами алгебры. Чтобы преодолеть этот недостаток, мы будем говорить, что действительное число 5 (положительное, отрицательное или равное нулю) может быть построено (исходя из положительных чисел ), если оно либо равно нулю, либо число может быть построено в ранее определенном смысле. Оказывается, что при таком определении основная теорема (в том виде, как она сформулирована на стр. 189) сохраняет силу и для любых действительных чисел

Действительно, при это утверждение тривиально, при оно совпадает с основной теоремой, а при непосредственно вытекает из этой теоремы в силу того, что число может быть построено (является пифагоровым числом) одновременно с числом .

Эта формулировка основной теоремы с алгебраической точки зрения уже более удовлетворительна, однако она не включает комплексные числа. Имея в виду перенести ее и на этот случай, мы будем говорить, что комплексное число может быть построено (исходя из чисел ), если могут быть построены (в смысле предыдущего определения) действительные числа и . Ясно, что для действительных чисел это определение совпадает с предыдущим.

Далее, мы скажем, что комплексное число пифагорово (по отношению к числам если оно может быть получено из этих чисел с помощью четырех арифметических действий и операции извлечения квадратного корня. Здесь уже неясно, что для действительных чисел это определение совпадает с принятым ранее. Однако это . Более того, имеет место следующее общее предложение:

комплексное число тогда и только тогда Является пифагоровым числом, когда пифагоровыми числами (в ранее принятом (лысле) являются действительные числа

Достаточность этого условия очевидна (ибо число пифагорово). Что же касается необходимости, то она непосредственно вытекает из того факта, что извлечение квадратного корня из любых комплексных чисел сводится к арифметическим действиям и извлечению квадратных корней из положительных чисел (см. Курс, стр. 124—125).

Из этого предложения немедленно вытекает, что основная теорема (как она сформулирована на стр. 189) имеет место и для комплексных чисел.

Для применения методов теории Галуа удобно сформулировать основную теорему в терминах теории полей.

Пусть Р — поле, порожденное над полем R рациональных чисел числами а, . Поскольку среди исходных чисел содержится число 1, все элементы поля Р являются пифагоровыми числами.

Расширение К поля Р мы будем называть пифагоровым, если

где числа обладают тем свойством, что для любого число принадлежит полю

Ясно, что число тогда и только тогда является пифагоровым числом, когда оно принадлежит некоторому пифагоровому расширению поля Р.

Таким образом, мы приходим к следующей формулировке основной теоремы, которую будем рассматривать как окончательную:

число тогда и только тогда может быть по строено (исходя из чисел , когда оно содержится в некотором пифагоровом расширении поля

Замечание. Основную теорему часто формулируют В следующем виде:

число тогда и только тогда может быть пот строено (исходя из чисел когда решение неприводимого уравнения (над полем ) с корнем сводищся к решению цепи квадратных уравнений, т. е., как говорят, число выражается в квад ратных радикалах (через элементы поля Р),

Очевидно, что эта формулировка равносильна нашей.

Доказанная основная теорема хотя и чрезвычайно интересна с теоретической точки зрения, может приобрести практический интерес лишь после того, как будут найдены достаточно простые признаки пифагоровости расширений. Один такой признак, вполне исчерпывающий с практической точки зрения проблему, мы докажем в п. 3. Предварительно в п. 2 мы изложим необходимые для этого сведения из общей теории групп.