3. Прием Гаусса

Если бы теоремой предыдущего пункта исчерпывалось все, что можно сказать о решении уравнений деления круга, Это совершенно не оправдывало бы труд, затраченный нами 6 п. 1 на изучение строения поля и его подполей, ибо легко видеть, что решение любого уравнения с разрешимой Группой Галуа сводится к решению уравнений простых степеней (так как любая разрешимая группа обладает разрещимым рядом с факторами простых порядков).

В этом пункте мы дополним эту теорему принадлежащим Гауссу изящным приемом построения «разрешающих» уравнений простых степеней или, более общо, уравнений, определяющих произвольное подполе поля над полями вида , где — некоторый делитель числа (не обязательно отличающийся от числа лишь на один простой множитель). Так как , где

то и наша задача сводится к тому, чтобы найти неприводимый над полем многочлен с корнем (т. е. минимальный многочлен числа ) над полем С этой целью мы рассмотрим периоды

где . Поскольку, как легко видеть,

(условно считаем, что ), элементарные симметрические функции от периодов (5) не меняются под воздействием автоморфизма т. е. принадлежат полю Другими словами, многочлен

представляет собой многочлен над полем . Так как его степень равна то этот многочлен и является искомым минимальным многочленом числа над полем

Коэффициент этого многочлена при лишь знаком Отличается от величины

(где

т. е. от -членного гауссова периода соответтвующегр числу

Остальные коэффициенты можно вычислить на основе формул Вьета, опираясь на следующее утверждение, непосредственно вытекающее из того факта, что периоды образуют базис поля над полем

Произведение любых двух -членных гауссовых периодов является целочисленной линейной комбинацией периодов

Для практического нахождения этой линейной комбинации Гаусс предложил записывать произведение периодов

в следующем виде, собирая вместе произведения членов, «отстоящих друг от друга на одном расстоянии» (и считая при этом, что после последнего члена каждого периода снова следует его первый член):

Легко видеть, что под воздействием автоморфизма каждый член произведения переходит в следующий член той же скобки (считаем, что за последним членом скобки следует ее первый член). С другой стороны, являясь произведением корней из единицы степени , член также представляет собой корень из единицы либо первообразный, либо равный единице. Таким образом, каждая скобка либо состоит из единиц (и потому равна ), либо представляет собой сумму первообразных корней из единицы степени , последовательно переходящих друг в друга под воздействием автоморфизма , т. е. является одним из периодов . Чтобы найти номер этого периода, достаточно вычислить один член скобки (скажем, первый) и посмотреть, в какой период он входит.

Что же касается скобки, состоящей из единиц, то она равна

Действительно, сумма равна сумме всех первообразных корней из единицы степени и потому равна —1 (взятому с обратным знаком коэффициенту при в уравнении деления круга).

Тем самым мы действительно представили произведение в виде линейной комбинации периодов