5. Уравнения третьей и четвертой степени

Применим теперь изложенную выше теорию к задаче вычисления группы Галуа многочленов третьей и четвертой степени. Для простоты мы ограничимся случаем, когда данный многочлен неприводим. Тогда его группа Галуа транзитивна (см. ч. II, гл. 3, п. 5). Но легко видеть, что единственными транзитивными группами подстановок третьей степени являются симметрическая группа и знакопеременная группа (доказать 1). Следовательно, группой Галуа неприводимого уравнения третьей степени является либо симметрическая группа Оциклическая группа шестого порядка), либо знакопеременная группа (циклическая группа третьего порядка); в первом случае дискриминант уравнения не является точным квадратом некоторого элемента основного поля, а во втором является таким квадратом.

Что же касается группы то можно показать (сделайте это I), что любая ее нетривиальная транзитивная подгруппа либо совпадает с группой либо совпадает с клейновской группой (см. стр. 101), либо сопряжена с группой восьмого порядка, состоящей из подстановок

где — подстановки группы — транспозиция (1 2). При этом класс состоит из трех групп (перечислите эти группы), пересечение которых совпадает с группой

Группе точно принадлежит многочлен Соответствующий многочлен (см. п. 2) имеет, как легко видеть, вид

где — элементарные симметрические функции переменных

Пусть теперь

— произвольный многочлен четвертой степени без кратных корней над полем Р. Согласно сказанному в п. 3, для решения вопроса о том, не является ли его группа Галуа подгруппой группы (или группы, сопряженной с группой ), мы должны составить многочлен

Корнями этого многочлена являются числа

где — корни многочлена . Легко видеть, что корни (2) все различны. Действительно, если, например, откуда или что противоречит предположению об отсутствии у многочлена кратных корней. Таким образом, многочлен (1) не имеет кратных корней, и потому группа Галуа многочлена тогда и только тогда содержится в группе в группе, сопряженной группе В), когда многочлен (1) имеет корень в поле Р.

В частности, если многочлен неприводим, то многочлен (1) тогда и только тогда имеет корень в поле Р, когда группа Галуа многочлена либо сопряжена с группой либо совпадает с группой

Поскольку последний случай имеет место тогда и только тогда, когда дискриминант многочлена является точным квадратом некоторого элемента поля Р.

Задача. Докажите, что группа Галуа многочлена тогда и только тогда содержится в группе когда все три корня уравнения (1) принадлежат полю Р.

Резюмируя все сказанное, мы получаем следующее правило для вычисления группы Галуа неприводимого многочлена четвертой степени:

если дискриминант многочлена не является точным квадратом и многочлен (1) не имеет в поле Р корней, то группой Галуа многочлена является группа

если дискриминант многочлена является точным квадратом, но многочлен (1) не имеет в поле Р корней, то группой Галуа многочлена является группа

если дискриминант многочлена не является точным квадратом, но многочлен (1) имеет в поле Р хотя бы один корень, то группа Галуа многочлена сопряжена группе

наконец, если дискриминант многочлена является точным квадратом и все корни многочлена (1) принадлежат полю Р (впрочем, достаточно требовать, чтобы только один корень принадлежал полю Р), то группой Галуа многочлена является группа

Аналогичные результаты можно получить и для уравнений любой высшей степени. В следующей главе мы рассмотрим с этой точки зрения уравнения пятой степени.