4. Вычисление группы Галуа неприводимого уравнения пятой степени

Пусть — произвольный неприводимый (над основным полем Р) многочлен пятой степени. Поскольку группа Галуа неприводимого многочлена транзитивна, эта группа должна совпадать (при соответствующей нумерации корней многочлена) с одной из пяти групп перечисленных в предыдущем пункте. Согласно сказанному в предыдущей главе, для того чтобы определить эту группу, следует для каждой из групп рассмотреть некоторый точно принадлежащий этой группе многочлен составить по этому многочлену многочлен вместо неизвестных корни многочлена выразить эти коэффициенты через коэффициенты многочлена и определить, имеет ли полученный многочлен хотя бы один корень в поле Р.

Если такой корень существует и если многочлен не имеет кратных корней, то группа Галуа многочлена содержится в соответствующей группе (или в некоторой сопряженной группе).

Степень многочлена равная индексу соответствующей группы в группе , указана в следующей таблице:

Для составления этого многочлена можно воспользоваться следующими многочленами, точно принадлежащими соответствующим группам (здесь — первообразный корень пятой степени из единицы):

В общем случае коэффициенты соответствующих многочленов (конечно, кроме многочлена, соответствующего группе ) весьма сложно выражаются через коэффициенты многочлена и мы их вычислять не будем. Однако с принципиальной стороны это вычисление не представляет никаких трудностей и требует лишь определенного терпения. Во всяком случае, для каждого конкретного уравнения (с числовыми коэффициентами) это вычисление всегда можно провести до конца в конечное число чисто механических действий. На практике следует в первую очередь найти дискриминант D многочлена . Если он не является полным квадратом, то группа Галуа многочлена либо совпадает с симметрической группой либо сопряжена с метациклической группой . В противном случае группа Галуа сопряжена с одной из трех групп

Полезно также иметь в виду, что если многочлен соответствующий группе имеет корень в поле Р (и не имеет кратных корней), то группа Галуа данного многочлена сопряжена с группой (ибо эта группа не имеет транзитивных подгрупп).