ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШИМЫЕ В РАДИКАЛАХ

1. Простые радикальные расширения

Простым, радикальным расширением поля Р называется поле разложения К двучленного уравнения вида

Как известно (см. Курс, стр. 128), все корни уравнения (1) получаются из одного умножением на корни степени из единицы. Но любой корень степени из единицы является степенью первообразного корня. Таким образом, если — произвольный корень уравнения (1), а С — некоторый первообразный корень степени из единицы, то числа

исчерпывают все корни уравнения (1). Следовательно, поле содержит все корни уравнения (1), и потому

С другой стороны, поле К содержит числа и и потому содержит числа и Следовательно,

Таким образом,

Может случиться, что поле Р уже содержит корень С. В этом случае простое радикальное расширение К имеет вид Другой крайний случай возникает тогда, когда . В этом случае в качестве корня мы можем принять число 1, откуда следует, что (Заметим, что уравнение (1) неприводимым не предполагается.)

Являясь полем разложения, поле нормально, и поэтому мы можем говорить о его группе Галуа .

Пусть S — произвольный автоморфизм из группы Галуа . Так как число С является корнем многочлена то число также будет корнем этого многочлена (см. ч. I, гл. 3, п. 2). Следовательно, найдется такое число а, что

Если бы число было корнем многочлена , где , то и число также было бы корнем многочлена , т. е. было бы корнем из единицы степени Но это невозможно, так как по условию число С является первообразным корнем степени я из единицы. Следовательно, число не может быть корнем из единицы степени , меньшей , т. е. является первообразным корнем степени . Поэтому число а взаимно просто с числом (см. Курс, стр. 129).

Далее, так как число является корнем уравнения (1), то и число также будет корнем уравнения (1), т. е. найдется такое число b, что

Таким образом, каждому автоморфизму соответствует пара чисел а и b, причем число а взаимно просто с числом . Это соответствие не однозначно, ибо, например, пара где числа отличаются от чисел а и b на, число, кратное , также соответствует тому же автоморфизму S. Разберем этот вопрос подробнее.

Пусть пары соответствуют одному и тому же автоморфизму S, т. е. пусть

Тогда

то

Так как С — первообразный корень степени из единицы, то эти равенства возможны тогда и только тогда, когда разности делятся на , т. е. когда числа а и b сравнимы по модулю и соответственно с числами и

Другими словами, пары тогда и только тогда соответствуют одному и тому же автоморфизму , когда эти пары принадлежат одному классу в смысле гл. 1, п. 5, т. е. определяют один и тот же элемент группы . Таким образом, если мы каждому автоморфизму S из группы Галуа отнесем элемент группы где числа а и b определяются из формул (3) и (4), то мы получим однозначное отображение группы в группу . Мы будем обозначать это отображение буквой

Оказывается, что отображение гомоморфно. Действительно, если т. е. если

то

Таким образом,

то

Найдем ядро гомоморфизма . Если автоморфизм принадлежит ядру гомоморфизма , то

т. е. автоморфизм S оставляет на месте элементы С и . Следовательно, автоморфизм S оставляет на месте и любой многочлен (с коэффициентами из Р) от элементов С и . Поэтому, поскольку любой элемент поля выражается в виде многочлена от С и , автоморфизм S оставляет на месте любой элемент поля К, т. е. Таким образом, ядро гомоморфизма состоит только из тождественного автоморфизма Е, т. е. является мономорфизмом. Другими словами, осуществляет изоморфное отображение группы на некоторую подгруппу группы

Так как группа (а потому и любая ее подгруппа) разрешима, то отсюда вытекает, что группа Галуа простого радикального расширения является разрешимой группой.

Если т. е. если , то образ мономорфизма содержится, очевидно, в подгруппе группы состоящей из элементов вида [1, b]. Так как эта подгруппа изоморфна группе то отсюда следует, что если то группа Галуа простого радикального расширения является циклической группой, порядок которой делит число .

В «противоположном» случае, когда , т. е. когда образ мономорфизма содержится в подгруппе группы состоящей из всех элементов вида Так как эта подгруппа изоморфна, очевидно, группе то отсюда следует, что группа Галуа простого радикального расширения поля Р, где С — первообразный корень степени из единицы, изоморфна некоторой подгруппе группы и потому абелева.