ГЛАВА 4. УРАВНЕНИЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА

1. Строение полей деления круга простого показателя

В предыдущей главе было в определенной мере изучено (в процессе доказательства теоремы В) строение произвольных круговых расширений. В этой главе мы углубим и конкретизируем эти результаты для случая полей деления круга, т. е. круговых расширений поля R рациональных чисел, в предположении, что показатель расширения является простым нечетным (случай неинтересен) числом .

Многочлен, корнями которого являются первообразные корни из единицы некоторой степени (и только эти корни), называется многочленом деления круга на частей. Поскольку при простом все отличные от единицы корни степени из единицы являются первообразными корнями, многочлен деления круга на частей имеет вид

и потому является многочленом над полем R. Известно (см. Курс, стр. 354), что этот многочлен неприводим (над полем R) (по существу, это единственное место, где мы используем тот факт, что основным полем является поле ).

Полем разложения многочлена (1) является поле деления круга , где — произвольный первообразный (т. е. отличный от единицы) корень степени из единицы. Поскольку многочлен (1) неприводим, степень поля над полем R равна (степени многочлена ).

Рассмотрим теперь элементы

поля .

Все эти элементы являются первообразными корнями степени из единицы (и любой первообразный корень степени из единицы среди них содержится).

Легко видеть, что элементы (2) составляют баше поля над полем

Действительно, их число равно степени поля над полем R и они линейно независимы (ибо любая нетривиальная линейная комбинация между ними после сокращения на С превращается в уравнение для С степени, меньшей чем , а такого уравнения в силу неприводимости многочлена (1) существовать не может).

Из результатов предыдущей главы мы знаем, что группа Г алуа поля над полем R циклично, а из сказанного выше о степени поля следует, что ее порядок равен . Пусть S — произвольная (раз навсегда фиксированная) образующая этой группы. Тогда

где g — некоторый первообразный корень по модулю .

Для любого мы положим

Таким образом, и

Поскольку тогда и только тогда, когда делится на равенство имеет место тогда и только тогда, когда числа i и j сравнимы по модулю (следует иметь в виду, что из равенства вытекает равенство Таким образом, среди чисел С, имеется ровно различных.

За эти числа можно принять, например, числа

Поскольку все числа С, являются первообразными корнями, из единицы степени числа (4) лишь порядком следования отличаются от чисел (2). Таким образом, элементы (4) составляют базис поля над полем

Как мы знаем, любая подгруппа группы О является циклической подгруппой с образующей вида где некоторый делитель числа

Обратно, для любого делителя числа элемент является образующей некоторой подгруппы. Пусть подполе поля соответствующее этой подгруппе. Таким образом, . Степень поля над полем равна а степень поля над полем R равна . Элемент а поля тогда и только тогда принадлежит полю когда

Заметим теперь, что для любого делителя числа все первообразные корни (4) степени из единицы можно распределить в групп

по корней в каждой группе, таким образом, что автоморфизм переводит каждый корень в соседний корень той же группы (корнем соседним с последним корнем группы номера I мы считаем ее первый корень ).

Пусть

— сумма всех корней, принадлежащих группе. Из сказанного выше непосредственно следует, что элементы — они называются -членными гауссовыми периодами, — не меняются под воздействием автоморфизма

Следовательно, . Так как число периодов равно степени поля над полем R и они линейно независимы над полем R (почему?), то периоды составляют базис поля над полем R. Пусть . Так как , то . Пусть — степень поля над полем R, т. е. степень неприводимого над полем R многочлена с корнем .

Так как , то . С другой стороны, легко видеть, что

откуда следует, что все периоды являются корнями много члена Таким образом, многочлен имеет, по крайней мере, различных корней, и потому те. Следовательно, и

Отсюда, в частности, вытекает, что любой период выражается в виде многочлена (с рациональными коэффициентами) от периода .