7. Уравнения пятой степени, разрешимые в радикалах
Результаты предыдущего пункта позволяют, в частности, полностью описать все уравнения пятой степени (имеющие нормальный вид), которые можно решить в радикалах. Действительно, если уравнение
приводимо, то оно сводится к уравнениям меньших степеней и потому решается в радикалах. Если же уравнение (1) неприводимо, то его группа Галуа либо содержит группу 
(и поэтому неразрешима), либо сопряжена некоторой подгруппе метациклической группы (и поэтому разрешима). Кроме того, оказывается, что если многочлен
имеет кратный корень, 
уравнение (1) решается в радикалах.
Действительно, пусть многочлен (2) имеет кратный корень 
. Тогда
Следовательно,
Если 
, то уравнение (1) имеет кратные корни, приводимо и решается в радикалах. Пусть 
. Тогда ввиду равенства (4)
Следовательно, после сокращения мы получим из уравнения (5) уравнение
из которого следует, что
Подставляя это значение 
в равенство (3), мы получим, что
Но легко сосчитать, что для уравнения (1)
Следовательно,
т. е. либо 
либо 
. В обоих случаях уравнение (1) разрешимо в радикалах.
Задача. Доказать формулу (6).
Из всего сказанного вытекает следующее окончательное утверждение.
Уравнение (1) тогда и только тогда решается в радикалах, когда оно либо приводимо, либо хотя бы один корень мндгдчлена (2) принадлежит основному полю Р,
Это утверждение справедливо для любых уравнений (1), даже имеющих кратные корни.
Пользуясь формулой (6), многочлен (2) можно переписать в следующем виде:
Пусть этот многочлен имеет корень 
. Полагая
где 
— некоторые параметры, мы получим, что
Отсюда
Таким образом, уравнение (1) тогда и только тогда решается в радикалах, когда оно либо приводимо, либо его коэффициенты и и v имеют вид (7), где 
и 
— некоторые элементы основного поля Р.
