3. Транзитивные группы пятой степени

При число z в формуле (2) предыдущего пункта может принимать лишь значения 0 и 1.

В соответствии с этим мы получаем, или т. е. транзитивная группа пятой степени содержит либо только одну циклическую группу пятого порядка либо все шесть таких групп.

Если транзитивная группа О подстановок пятой степени содержит все шесть циклических групп пятого порядка, то ввиду тождеств

группа О содержит произведения любых двух транспозиций и потому содержит любую четную подстановку. Следовательно, в этом случае группа О является либо знакопеременной группой либо симметрической группой

Пусть теперь группа О содержит только одну циклическую группу пятого порядка, и пусть s — образующая этой группы. Для определенности мы будем считать, что

Любой другой вид цикла s сводится к этому посредством соответствующей перенумеровки переставляемых символов 1, 2, 3, 4, 5.

Циклическую группу с образующей мы будем обозначать символом Ее порядок равен пяти.

Рассмотрим теперь наряду с циклом s еще подстановку

Легко видеть, что

Поэтому подстановки

образуют группу. Эта группа называется полуметациклической группой. Мы будем обозначать ее символом . Ее порядок равен десяти. Она содержит циклическую группу в качестве нормального делителя (докажите!), причем факторгруппа является группой второго порядка и поэтому циклична. Следовательно, группа разрешима. Рассмотрим далее подстановку

Легко видеть, что

Поэтому подстановки

образуют группу, Эта группа называется метациклической группой. Мы будем обозначать ее символом . Ее порядок равен двадцати. Поскольку, как легко видеть, группа содержит полуметациклическую группу в качестве нормального делителя индекса 2. Поэтому группа разрешима.

Заметим кстати, что

Задача. Докажите, что группа В изоморфна группе (см. ч. II, гл. 1, п. 5).

Оказывается, что группами исчерпываются (при выбранной нумерации переставляемых символов) все транзитивные группы подстановок пятой степени, содержащие только одну циклическую группу пятого порядка.

Действительно, пусть а — произвольная подстановка транзитивной группы О, содержащей только одну циклическую группу пятого порядка (а именно: при выбранной нумерации переставляемых символов группу ). Если эта подстановка переводит число I в число k, то подстановка оставляет число 1 на месте. Пусть

Тогда

Так как любой цикл длины 5, содержащийся в группе О, является по условию степенью цикла s, то отсюда следует, что

Поскольку

отсюда вытекает, что подстановка b совпадает с одной из следующих четырех подстановок:

(ибо запись цикла в виде однозначна), и поэтому принадлежит группе . Следовательно, группе принадлежит и подстановка а. Тем самым доказано, что группа О содержится в группе . Для завершения доказательства остается заметить, что единственными подгруппами группы содержащими группу , являются группы Теорема доказана.