6. Группы Галуа примарных круговых расширений

Поля вида , где С — некоторый корень из единицы, мы будем называть круговыми расширениями поля . Это название связано с тем, что корни из единицы степени определяют разбиение окружности на равных частей.

Показателем кругового расширения мы будем называть такое число , что корень С является первообразным корнем из единицы степени . Если число примарно, т. е. имеет вид где — простое число, то круговое расширение мы будем называть примарным.

Как мы знаем (см. ч. II, гл. 1, п. 1), группа Галуа кругового расширения с показателем изоморфна некоторой подгруппе мультипликативной группы классов по модулю .

Для отсюда и из результатов предыдущего пункта немедленно вытекает, что при нечетном (а также при ) группа Галуа примарного кругового расширения с показателем является циклической группой, порядок которой делит число .

Пусть теперь . Рассмотрим подгруппу Н группы которой изоморфна группа Галуа . Возможны следующие три случая:

1) подгрупна Н не содержит элементов вида

2) подгруппа Н содержит элементы вида и не содержит отличных от элементов вида

3) подгруппа Н содержит элементы обоих видов.

В случае 1) подгруппа Н содержится в подгруппе и потому является циклической группой, порядок которой делит число .

Если подгруппа Н содержит элемент , то она содержит и элемент (напомним, что . Поэтому в случае 2) число k либо равно нулю, либо равно Обоих элементов у и подгруппа Н содержать не может, так как их произведение равно Таким образом, либо , либо так что в случае 2) подгруппа Н также является циклической группой (порядка 2, делящего число ).

В случае 3) мы рассмотрим пересечение т. е. совокупность всех элементов вида содержащихся в подгруппе Н. Это пересечение, являясь подгруппой группы представляет собой циклическую группу. Пусть — ее образующая. Число , являясь индексом подгруппы в группе делит порядок группы т. е. имеет вид 2, где По условию подгруппа Н, кроме степеней элемента содержит также некоторые элементы вида Рассмотрим следующие два случая:

3а) ни для одного элемента показатель k не делится на ;

3б) хотя бы для одного элемента показатель k делится на .

В случае 3а) любой элемент мы можем (разделив с остатком число k на число представить в виде произведения где

Так как , то . С другой стороны, если то, поскольку число должно делиться на , что возможно лишь при (заметим, что в рассматриваемом случае ). Итак, любой элемент имеет вид Но это выражение равно ибо Кроме того, любой элемент вида равен Таким образом, мы видим, что любой элемент подгруппы Н является степенью элемента т. е. подгруппа Я является циклической подгруппой с образующей Порядок подгруппы равен, очевидно, следовательно, делит число

Наконец, в случае подгруппа содержит, очевидно, элемент у и потому состоит из элементов подгруппы и их произведений на элементу. Эта группа уже нециклическая. Она содержит циклическую подгруппу порядка факторгруппа по которой является группой второго порядка.

Возвращаясь к группе Галуа поля , мы окончательно получаем:

при группа Галуа либо является циклической группой, порядок которой делит число либо, являясь нециклической группой, содержит циклическую подгруппу, порядок которой делит число причем соответствующая факторгруппа является группой второго порядка.

Как случай нечетного , так и случай можно объединить в следующей общей теореме:

в поле с показателем существует такое промежуточное подполе Р, что

1) группа Галуа поля над полем Р является циклической группой, порядок которой делит число

2) степень поля Р над полем либо равна единице (т. е. либо равна двум.

Степень поля Р над полем тогда и только тогда равна двум, когда группа не циклична значит,

В этом случае поле определяется как подполе поля , соответствующее указанной в предыдущей теореме циклической подгруппе группы .

Пусть S — образующая этой подгруппы. Поскольку при мономорфизме (см. ч. II, гл. 2, п. 1), эта образующая переходит в элемент , т. е. в класс ее действие на элементе С определяется формулой

Аналогично действие автоморфизма Т, соответствующего элементу у, определяется формулой

Так как , где - некоторое целое число, то из этих формул вытекает, что

С другой стороны, так как

то , где . Таким образом, мы видим, что , причем

Из первого равенства следует, что , а из второго, что (ибо ). Таким образом, во-первых, поле содержится в поле Р, а во-вторых, степень поля над полем равна двум. Это возможно только тогда, когда Таким образом, если