5. Группы Zn и Mn

Пусть — произвольное целое положительное число. Рассмотрим множество всех классов чисел, сравнимых между собой по модулю . Класс, содержащий число а, мы будем обозначать через (в Курсе, стр. 227, этот класс обозначался через ). В множестве кроме сложения (относительно которого оно является, как мы знаем, циклической группой), можно определить также и умножение. Как и сложение, умножение классов сравнимых между собой чисел определяется по представителям:

Это умножение, очевидно, коммутативно и ассоциативно. Кроме того, оно обладает единицей (именно единицей этого умножения служит класс [1], содержащий число 1). Однако относительно этого умножения множество группой не является, потому что, например, нулевой класс (состоящий из чисел, делящихся на ) не имеет обратного. Выясним, какие классы имеют обратные.

Пусть — произвольный класс по модулю , для которого существует обратный класс, т. е. такой класс что

Тогда число делится на , т. е. существует такое целое число k, что

Очевидно, что это равенство возможно только тогда, когда числа а и b взаимно просты с числом п. Таким образом, если для класса существует обратный класс, то число а взаимно просто с числом .

Оказывается верно и обратное, так что класс тогда и только тогда имеет обратный, когда число а взаимно просто с числом .

Докажем предварительно следующую лемму.

Лемма. Для любых целых чисел а и b существуют такие целые числа , кто

наибольший общий делитель чисел

Для доказательства мы рассмотрим все числа, которые можно представить в виде

где х и у — произвольные целые числа (положительные или отрицательные). Пусть d — наименьшее из всех положительных чисел такого вида:

Разделим (с остатком) число а на число d:

Из формул (1) и (2) вытекает, что

Отсюда в силу минимальности числа d следует, что , т. е. что а делится на d. Аналогично доказывается, что b делится на d. С другой стороны, ясно, что любой общий делитель чисел а и b делит число d. Следовательно, d является наибольшим общим делителем чисел а и b. Лемма полностью доказана.

Согласно этой лемме, если число а взаимно просто с числом , то существуют такие целые числа , что

Переходя в этом равенстве к классам и учитывая, что мы получим, что

Таким образом, класс обратен к классу Тем самым сформулированная выше теорема полностью доказана.

Из этой теоремы немедленно вытекает, что совокупность всех классов по модулю я, состоящих из взаимно простых с чисел, является группой относительно умножения (очевидно, абелевой). Эта группа обозначается через и называется мультипликативной группой классов по модулю . Ее порядок равен числу всех положительных чисел, меньших я и взаимно простых с .

Можно показать, что если, например, число делится на два нечетных простых числа, то группа не циклична.

Этот факт нам не понадобится, и мы его оставим без доказательства. Случай мы изучим позже (ч. III, гл. 3. п. 4).

Рассмотрим теперь множество всех пар вида (а, b), где а и b — целые числа, причем число а взаимно просто с числом я. Разобьем это множество на классы, относя к одному классу пары тогда и только тогда, когда число а сравнимо с числом а, по модулю , а число b сравнимо с числом по модулю . Класс, содержащий пару мы будем обозначать через множество всех классов — через .

Определим в множестве алгебраическую операцию («умножение»), положив

Без труда проверяется, что эта формула действительно определяет в множестве однозначную операцию, т. е. если то

Легко видеть, что относительно так определенного умножения множество является группой. Единицей этой группы служит класс [1, 0], а обратный элемент определяется формулой

где а — такое число, что

Группа как легко видеть, неабелева (если ). Например,

Задача. Доказать, что порядок группы равен

Непосредственно из определения группы вытекает, что отображение определенное (как легко видеть, однозначно) формулой

является гомоморфизмом. Это отображение, очевидно, эпиморфно, и потому группа изоморфна факторгруппе группы по ядру отображения

Ядро состоит, очевидно, из элементов вида Так как

то, сопоставив классу класс , мы получим изоморфное отображение группы на группу Следовательно, ядро является циклическим нормальным делителем группы Факторгруппа группы по ядру изоморфна, как мы видели, группе и потому является абелевой и, следовательно, разрешимой группой. Таким образом, группа обладает разрешимым (даже циклическим) нормальным делителем, факторгруппа по которому разрешима (даже абелева). Следовательно, группа также разрешима.