7. Группа Галуа композита двух полей

Пусть нормальное расширение К поля Р является композитом расширений . В группе Галуа подполю соответствует подгруппа а подполю — подгруппа . Автоморфизмы из подгруппы оставляют на месте все элементы поля а автоморфизмы из подгруппы оставляют на месте все элементы поля

Следовательно, любой автоморфизм из пересечения оставляет на месте любой элемент вида

где . Но, согласно гл. 1, п. 9, элементами вида (1) исчерпываются все элементы композита К (результаты гл. 1, п. 9 применимы, так как поля конечны над Р). Следовательно, рассматриваемое пересечение содержит только тождественный автоморфизм. Таким образом, если нормальное расширение К поля Р является композитом расширений и , то

Задача. Доказать обратное утверждение, т. е. доказать, что если нормальное поле К содержит подполя удовлетворяющие условию (2), то К является композитом полей

Предположим теперь, что поле нормально над полем Р. Тогда его группа Галуа является гомоморфным образом группы Галуа , причем ядром соответствующего эпиморфизма является группа (см. п. 6). Из формулы (2) непосредственно следует, что этот эпиморфизм на подгруппе является мономорфизмом. словами, группа изоморфна некоторой подгруппе группы . Таким образом, если нормальное расширение К поля Р является композитом нормального расширения и (вообще говоря, произвольного) расширения , то группа Галуа изоморфна некоторой подгруппе группы .