4. Решение уравнений низших степеней

Рассмотрим сначала квадратное уравнение

Пусть — его корни и — его поле разложения над полем (так как основное поле Р не играет никакой роли, то мы принимаем за него поле С комплексных чисел). Группой Галуа уравнения (1) является симметрическая группа Так как эта группа является циклической группой второго порядка и, следовательно, не имеет никаких подгрупп, то и поле Q не имеет никаких промежуточных подполей. Поэтому, например, поле совпадает с полем

Единственный не тождественный автоморфизм S поля Q над полем С переводит корень в корень

(ибо в противном случае ).

Согласно общей теории, мы должны составить резольвенты Лагранжа.

Так как первообразным корнем из единицы степени 2 является число — 1, то резольвенты Лагранжа имеют в нашем случае вид

Обозначим резольвенту буквой :

Другая резольвента является элементарным симметрическим многочленом

Из равенств вытекает, что

(что также согласуется с общей теорией; см. гл. 2, п. 2), т. е. что

Далее,

и, следовательно,

Таким образом, мы действительно получили известные формулы решения квадратного уравнения.

Рассмотрим теперь кубическое уравнение

Полагая

мы приведем его к виду

где

(Это преобразование не вызывается существом дела и производится только для упрощения дальнейших выкладок.)

Пусть — корни уравнения (2) и, следовательно, где — его поле разложения. Как мы знаем, группа Галуа этого уравнения обладает разрешимым рядом

Пусть L — промежуточное поле

соответствующее подгруппе . Тогда группой Галуа поля Q над полем L является группа . Эта группа циклическая, третьего порядка и ее образующей является, например, подстановка (1 2 3). Пусть S — автоморфизм, соответствующий этой подстановке:

Так как , то . Следовательно, поле должно совпадать со всем полем

(почему?). В соответствии с общей теорией мы должны рассмотреть резольвенты Лагранжа

где

— первообразный корень третьей степени из единицы. Так как , то

Складывая все три резольвенты, мы получим

(третью резольвенту мы не пишем, так как она равна нулю).

Этот результат также согласуется с общей теорией.

Согласно общей теории, третья степень резольвенты () должна принадлежать полю L. Но

Выражая симметрические многочлены через элементарные (и учитывая, что ), мы получим

Далее, легко видеть, что

где

Таким образом,

Мы видим, что действительно , ибо , и потому L.

Аналогично вычисляется, что

Найдем теперь . Любая транспозиция переводит , а любая четная подстановка оставляет на месте. Поэтому с сопряжено только число — и, следовательно, . Действительно, простое вычисление показывает, что

Сопоставляя формулы (3), (4), (5) и (6), находим окончательно следующую формулу решения кубического уравнения:

т. е. известную формулу Кардано.

Уравнения четвертой степени рассматриваются аналогично. Проведение соответствующих рассуждений предоставляется читателю.