4. Разрешимые и абелевы группы

Нормальный ряд

группы О называется разрешимым рядом, если для любого факторгруппа является циклической группой. Конечная группа, обладающая хотя бы одним разрешимым рядом, называется разрешимой; группа, не имеющая разрешимых рядов, называется неразрешимой. Примером разрешимой группы может, очевидно, служить любая конечная циклическая группа (разрешимый ряд состоит из группы О и единичной подгруппы ). Неразрешимой группой является, например, любая простая группа, если только она не является циклической (т. е. если ее порядок не является простым числом). Примеры таких групп будут построены ниже в главе

Очевидно, что любое уплотнение разрешимого ряда также является разрешимым рядом (ибо как подгруппы, так и факторгруппы циклических групп являются циклическими группами). С другой стороны, любой нормальный ряд конечной группы может быть уплотнен до ряда с простыми факторами. Следовательно, любая разрешимая группа обладает нормальным рядом, факторами которого служат циклические группы, простых порядков (являющиеся делителями порядка группы).

Как мы знаем, любой эпиморфизм переводит нормальный ряд (1) группы О в некоторый нормальный ряд группы O, факторы которого являются гомоморфными образами факторов ряда (1).

Так как гомоморфный образ циклической группы является циклической группой, то, следовательно, любой эпиморфизм переводит разрешимый ряд группы О в разрешимый ряд группы О. Таким образом, любой гомоморфный образ разрешимой группы является разрешимой группой.

Пусть Н — произвольная подгруппа разрешимой группы О. Определим отображение группы Н в группу О, полагая

(отображение есть тождественное отображение группы Н, рассматриваемое как отображение в ббльшую группу О). Отображение является, очевидно, мономорфизмом. Следовательно, нормальному ряду (1) группы О в подгруппе Н соответствует некоторый нормальный ряд (составленный из подгрупп ), факторы которого изоморфны подгруппам факторов ряда (1). Так как любая подгруппа циклической группы является циклической группой, то отсюда следует, что любая подгруппа разрешимой группы является разрешимой группой.

Из изложенного доказательства вытекает, что если разрешимая группа обладает разрешимым рядом длины s (т. е. рядом, состоящим из членов), то и любая ее подгруппа также обладает разрешимым рядом длины s (напомним, что мы допускаем разрешимые ряды с повторениями).

Из доказанных двух теорем непосредственно вытекает, что все факторы любого нормального ряда разрешимой группы являются разрешимыми группами.

Оказывается, что верно и обратное утверждение: группа О, обладающая нормальным рядом с разрешимыми факторами, является разрешимой группой. Действительно, пусть

— нормальный ряд группы О с разрешимыми факторами По определению, факторгруппа для любого обладает некоторым разрешимым рядом

Уплотним ряд (1) с помощью рядов (2). Как мы знаем, факторы уплотненного ряда изоморфны факторам ряда (2) и, следовательно, являются циклическими группами. Другими словами, уплотненный ряд разрешим. Таким образом, группа О обладает разрешимым рядом, т. е. является разрешимой группой.

Частным случаем доказанной теоремы является следующее утверждение:

если группа О обладает разрешимым нормальным делителем Н, факторгруппа по которому разрешима, то и сама группа О также разрешима.

Действительно, условие, наложенное на группу О, означает, что она обладает нормальным рядом

с разрешимыми факторами. Следовательно, по только что доказанной теореме группа О разрешима.

Это предложение позволяет доказать следующее утверждение, существенно расширяющее запас известных нам примеров разрешимых групп:

любая конечная абелева группа О разрешима. Доказательство мы проведем индукцией по порядку группы О. Если то группа О состоит только из единицы и, следовательно, разрешима. Предположим, что уже доказана разрешимость любой конечной абелевой группы, имеющей порядок меньший, чем , и рассмотрим произвольную абелеву группу О порядка п.

Пусть, g — произвольный отличный от единицы элемент группы О. Так как , то циклическая подгруппа Н группы О с образующей g имеет порядок, больший единицы, и следовательно, порядок факторгруппы меньше (факторгруппу строить можно, ибо в абелевой группе любая подгруппа является нормальным делителем). Так как любая факторгруппа абелевой группы является абелевой группой (доказать 1), то, следовательно, по предположению индукции, группа разрешима. Таким образом, в группе О имеется разрешимый (даже циклический) нормальный делитель , факторгруппа по которому разрешима. Следовательно, по доказанной выше теореме группа О разрешима,