8. Поле алгебраических чисел

В предыдущих пунктах доказано, что классы расширений типов 1°, 2°, 3° и 4° совпадают. Остается выяснить связи этих расширений с расширениями типа 5° (т. е. с алгебраическими расширениями). Как показано в п. 4, любое конечное расширение алгебраично. Мы сейчас покажем, что обратное неверно, т. е. что класс алгебраических расширений, вообще говоря, существенно шире класса конечных расширений. В дальнейшем этот результат не используется; он излагается нами лишь для выяснения полной системы соотношений между введенными классами расширений.

Пусть Р — произвольное поле. Рассмотрим множество К всех алгебраических над полем Р чисел. Пусть и . Тогда расширение является алгебраически порожденным и, следовательно, конечным расширением. Поэтому все его элементы, и значит, в частности элементы (если ), алгебраичны над Р, т. е. принадлежат К. Следовательно, множество К является полем. По определению, оно является алгебраическим расширением поля Р.

Предположим, что над полем Р существуют неприводимые многочлены сколь угодно большой степени (этому условию удовлетворяет, в частности, поле R рациональных чисел; см. Курс, стр. 354). Тогда поле К будет содержать элементы сколь угодно большой степени, и поэтому его степень не может быть конечной, т. е. поле К будет бесконечным расширением.

Таким образом, действительно существуют алгебраические бесконечные расширения (по крайней мере, над полем рациональных чисел).

Задача. Доказать, что поле К всех алгебраических чисел над полем Р алгебраически замкнуто.