6. Доказательство теоремы В

Теперь мы уже в состоянии доказать теорему В. Ее доказательство мы проведем индукцией по показателю кругового расширения .

Если (а также если ) поле совпадает с полем , так что в этом случае теорема В тривиальным образом справедлива (за неприводимо-радикальное расширение К, содержащее данное круговое расширение , можно принять само поле ).

Предположим теперь, что теорема В уже доказана для всех круговых расширений с показателями, меньшими (каково бы ни было поле ), и докажем ее для расширения с показателем . Будем различать следующие два случая:

(I) число делится по крайней мере на два различных простых числа;

(II) число имеет вид , где — простое число.

Случай (I). B этом случае число можно представить (вообще говоря, многими способами) в виде произведения двух взаимно простых чисел каждое из которых меньше . Пусть — первообразные корни из единицы степеней соответственно. Так как , то . Оказывается, что имеет место и обратное включение так что

Для доказательства этого включения достаточно показать (почему?), что произведение представляет собой первообразный корень из единицы степени , т. е. что из равенства вытекает, что делится на . Но если то ибо, согласно лемме, доказанной на стр. 70—71, для взаимно простых чисел существуют такие числа и и v, что и потому

Поскольку корень является по условию первообразным корнем из единицы степени из равенства вытекает, что делится на . Аналогично, из равенства вытекает, что делится на . Поэтому делится и на (ибо ). Тем самым равенство (1) полностью доказано.

Поскольку показатель расширения меньше , поле содержится, по предположению индукции, в некотором неприводимо-радикальном расширении поля . Рассмотрим поле . Это — круговое расширение поля с показателем меньшим .

Поэтому, снова по предположению индукции, поле содержится в неприводиморадикальном расширении К поля . Для завершения доказательства теоремы остается теперь заметить, что поле содержится в поле К и что это последнее поле является неприводимо-радикальным расширением поля Р (см. лемму из п. 2).

Случай (II). Пусть теперь Наряду с полем Р (С) рассмотрим поле , где — первообразный корень из единицы степени . Так как то, по предположению индукции, поле содержится в некотором неприводимо-радикальном расширении поля Р. Пусть . Как мы знаем (см. п. 5), в поле К содержится такое подполе что группа Галуа является циклической группой, порядок которой делит число Другими словами, поле К является циклическим расширением поля Поскольку поле содержит, по построению, первообразный корень из единицы степени а потому и первообразный корень из единицы степени, равной степени поля К, над полем к этому циклическому расширению применима теорема, доказанная в ч. II, гл. 2, п. 2, согласно которой поле К является неприводимо-радикальным расширением поля Так как поле либо совпадает с полем либо имеет вид (см. п. 5), и потому является неприводимо-радикальным расширением поля , то поле К представляет собой неприводимо-радикальное расширение поля , а следовательно, и поля Р. Для завершения доказательства остается заметить, что .

Тем самым теорема В, а значит и основная теорема, сформулированная в П. 1, полностью доказана,