3. Группа Галуа общего уравнения степени n

Напомним, что под общим уравнением степени мы понимаем уравнение вида

где — независимые переменные. Это уравнение мы рассматриваем как уравнение над полем рациональных дробей от переменных с коэффициентами из некоторого числового поля Р. Поскольку поле содержится в алгебраически замкнутом поле , то, как мы уже неоднократно отмечали, к уравнению (1) применимы все понятия и методы теории Галуа.

В частности, мы можем говорить о его поле разложения (над полем Р):

где — корни уравнения (1), т. е. некоторые дробностепенные ряды из поля . В этом поле содержится, в частности, поле

Но ввиду известных формул Вьета коэффициенты уравнения (1) рационально выражаются через его корни и поэтому принадлежат полю Следовательно,

и потому

Таким образом,

Отсюда следует, что любой элемент поля Q выражается в виде рациональной дроби от элементов с коэффициентами из поля Р. Действительно, совокупность всех рациональных дробей от элементов с коэффициентами из поля Р является, очевидно, подполем поля содержащим поле Р и элементы

Поэтому в силу минимальности поля это множество совпадает со всем полем

Оказывается, что любой элемент поля Q единственным образом выражается в виде рациональной дроби коэффициентами из поля Р.

Действительно, если

то

Но если дроби различны, то многочлен отличен от нуля (т. е. имеет отличные от нуля коэффициенты). Поэтому если хотя бы один элемент поля Q двумя разными способами выражается в виде рациональной дроби от то над полем Р существует такой отличный от нуля многочлен неизвестных , что

Рассмотрим для этого многочлена все многочлены вида (см. ч. I, гл. 3, п. 1), где

— произвольная подстановка степени . По определению

Все многочлены отличны от нуля, и следовательно, их произведение также отлично от нуля.

Но, как мы знаем (см. ч. I, гл. 3, п. 1), это произведение ярляется симметрическим многочленом. Следовательно, по основной теореме о симметрических многочленах (см. Курс, стр. 322) многочлен выражается в виде некоторого отличного от нуля многочлена (с коэффициентами из поля Р) от элементарных симметрических многочленов от

Но при последние многочлены с точностью до знаков совпадают с коэффициентами уравнения (1). Следовательно, над полем Р существует такой отличный от нуля многочлен g, что

С другой стороны, элемент поля Q является произведением всех элементов вида , где . Так как среди сомножителей этого произведения содержится равный нулю элемент , то

Следовательно, мы нашли над полем Р такой отличный от нуля многочлен g, что

Но это невозможно, ибо по условию коэффициенты являются независимыми переменными и никакой отличный от нуля многочлен над полем Р от них не равен нулю.

Полученное противоречие доказывает, что представление любого элемента поля Q в виде рациональной дроби от однозначно.

Заметим, что из доказанного утверждения следует, что все корни различны. Действительно, если, например, то существует такой отличный от нуля многочлен от неизвестных (именно многочлен ), что . Таким образом, общее уравнение (1) не имеет кратных корней.

Рассмотрим теперь группу Галуа поля Q над полем Р, т. е. группу Галуа уравнения (1). (Заметим, что поле Q конечно над полем Р (ибо оно является полем разложения некоторого многочлена) и бесконечно над полем Р (ибо оно содержит элементы не удовлетворяющие никакому уравнению); поэтому говорить о группе Галуа поля Q над полем Р нельзя.)

Так как уравнение (1) не имеет кратных корней, то можно группу Галуа рассматривать как группу подстановок (см. гл. 3, п. 1). Более точно: существует естественное мономорфное отображение группы Галуа в симметрическую группу . Подстановка

соответствующая при этом мономорфизме автоморфизму , определяется из соотношений

Следовательно, если подстановка а соответствует автоморфизму S, то для любого элемента

поля Q имеет место равенство

Докажем теперь, что рассматриваемый мономорфизм одновременно является и эпиморфизмом (а значит, и изоморфизмом), т. е. что любая подстановка а получается из некоторого автоморфизма .

С этой целью любой подстановке отнесем некоторое преобразование S поля Q, определив его формулой (3). Так как любой элемент поля Q единственным образом записывается в. виде (2), то формула (3) действительно определяет некоторое однозначное преобразование поля Q. Легко видеть, что преобразование S взаимно однозначно (именно обратное преобразование тем же способом строится с помощью подстановки ) и сохраняет операции сложения и умножения, т. е. является автоморфизмом поля S. Наконец, если элемент (2) принадлежит полю Р, т. е. выражается через , то многочлены и g являются симметрическими многочленами, и потому , т. е. автоморфизм S оставляет элемент (2) на месте. Таким образом, S является автоморфизмом поля Q над полем Р, т. е. , Остается заметить, что соответствующая автоморфизму S подстановка совпадает, очевидно, с подстановкой

Тем самым доказано, что группа Галуа изоморфна симметрической группе т. е. группа Галуа общего уравнения степени над произвольным полем Р изоморфна симметрической группе степени .

Следовательно, общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах (каково бы ни было поле Р).

Напротив, если то общее уравнение степени в радикалах разрешимо.

Последний результат общеизвестен (см. Курс, стр. 233—240), однако небезынтересно вывести известные формулы решения уравнений степени из общих соображений теории Галуа.