4. Уравнение деления круга на 17 частей

Для иллюстрации изложенной выше общей теории рассмотрим случай

Для числа 17 за первообразный корень g можно принять, например, число 6. Тогда

Поскольку за первое число мы должны принять число 2. Соответствующие восьмичленные периоды имеют вид

Скобки, на которые разбивается произведение начинаются соответственно с членов

Следовательно, , т. е.

ибо

Таким образом, период (вместе с периодом ) является корнем квадратного уравнения

то есть

Далее, мы должны взять Соответствующие четырехчленные периоды имеют вид

Из них нам нужны лишь периоды (так как Согласно общей теории,

Что же касается произведения , то скобки, на которые оно разбивается, начинаются соответственно с членов

Таким образом,

Следовательно, период является корнем уравнения

то есть

Далее, мы должны взять . Соответствующие двучленные периоды имеют вид

Из них нам нужны только периоды

Согласно общей теории,

Что же касается произведения то, как и выше, находим, что

Согласно доказанному в п. 1, период выражается через период . Чтобы найти это выражение, составим произведение Имеем

Следовательно,

Таким образом, период является корнем уравнения

то есть

Наконец, поскольку

и

то корень С (т. е., если хотите, одночленный период ) ввляется корнем уравнения

то есть

Задача. Показать, что во всех формулах (1), (2), (3), (4) перед корнем следует брать знак плюс.

Подставляя выражение (1) для в формулу (2), затем получившееся выражение для в формулу (3) и, наконец, получившееся выражение для в формулу (4), мы получим окончательное выражение для С, содержащее, кроме арифметических действий, лишь операцию извлечения квадратного корня. Впрочем, для геометрических надобностей достаточно знать число (представляющее собой, как легко видеть, удвоенную апофему правильного -угольника), так что последнюю подстановку (приводящую к мнимостям) можно и не делать. В результате мы получим (после некоторых упрощений) для апофемы следующее выражение:

Задача. Исследовать случай (должны получиться два квадратных уравнения и одно уравнение третьей степени) и случай (одно квадратное уравнение и два уравнения третьей степени).