5. Определяющий многочлен для метациклической группы

Рассмотрим подробнее многочлен для метациклической группы . За исходный многочлен g, точно принадлежащий группе мы примем указанный в предыдущем пункте многочлен где

Легко проверяется, что подстановки

образуют полную систему представителей смежных классов группы по ее подгруппе . Следовательно,

Положим

Ясно, что

Таким образом, достаточно вычислить лишь многочлен Пусть

Без труда проверяется, что многочлен А точно принадлежит полуметациклической группе причем под воздействием подстановок из группы не принадлежащих группе этот многочлен лишь меняет знак. Следовательно, для любой подстановки многочлен совпадает с одним из многочленов или — причем первый случай имеет место, когда подстановка а четна, а второй — когда дна нечетна.

Отсюда вытекает, что коэффициенты многочлена являющиеся симметрическими функциями многочленов четной степени, не меняются под воздействием произвольной подстановки , т. е. являются симметрическими многочленами от Напротив, коэффициенты являющиеся симметрическими функциями многочленов нечетной степени, не меняются лишь под воздействием четных подстановок и меняют свой знак под воздействием нечетных подстановок.

Но легко видеть, что любой, обладающий этим свойством многочлен делится на определитель Вандермонда . Для доказательства следует рассмотреть многочлен как многочлен от над полем . Очевидно, что величины являются его корнями, т.е. при подстановке в многочлен вместо неизвестной любой из неизвестных этот многочлен обращается в нуль. Действительно, например, многочлен под воздействием транспозиции с одной стороны не меняется, а с другой — меняет знак. Поэтому он равен нулю. Следовательно, многочлен делится на разности — (теорема Безу). По аналогичным соображениям он делится и на все другие разности вида а потому делится и на их произведение . Соответствующее частное является, очевидно, симметрическим многочленом от

Таким образом, мы видим, что многочлен имеет следующий вид:

где — некоторые симметрические многочлены от

Оценим теперь степени многочленов . Многочлены являются квадратичными формами от неизвестных . Поэтому коэффициенты являются однородными многочленами степени от . В частности, многочлены имеют соответственно степени 2, 6 и 10. Но многочлен имеет степень 10. Поэтому

Тем самым доказано, что многочлен имеет, следующий вид:

где — однородные симметрические многочлены от степеней 4, 8 и 12 соответственно, — определитель Вандермонда и с — постоянное число (эле-мент поля Р).

Отсюда вытекает, что многочлен имеет вид

где имеют прежние значения, a D — квадрат определителя .