2. Решение уравнений деления круга

В этом пункте мы применим результаты п. 1 к задаче «решения» уравнения деления круга на частей, т. е. к задаче приведения этого уравнения к цепи возможно более простых уравнений.

Задача. Доказать, что тогда и только тогда, когда делится на и что степень поля над полем равна

Пусть

— разложение числа в произведение (не обязательно различных) простых чисел . Полагая

мы получим в поле цепочку последовательно вложен, друг в друга подполей

обладающую тем свойством, что каждое подполе этой почки (кроме поля ) имеет над предшествующим подполем простую степень (именно поле имеет над полем степень Другими словами, пола» мы получим, что

причем для любого число является корнем некоторого неприводимого уравнения простой степени над полем

На языке теории уравнений это означает, что решение уравнения деления круга на частей сводится к решению уравнений простых степеней

Назовем простое число числом Ферма, если число является степенью двойки, т. е. имеет вид (легко видеть, что это возможно тогда, когда показатель также является, степенью двойки. Из только что доказанного утверждения немедленно вытекает, что если простое число является числом Ферма, то решение уравнения деления круга на частей сводится к решению квадратных уравнений.

Задача. Доказать обратное утверждение.

Замечание. Из теории геометрических построений (см. ниже гл. 4, п. 1) известно, что корень некоторого уравнения тогда и только тогда можно построить циркулем и линейкой, когда решение этого уравнения сводится к цепи квадратных уравнений. Следовательно, имеет место следующая теорема (впервые доказанная Гауссом).

Правильный -угольник, где - некоторое простое число, тогда и только тогда можно построить циркулем и линейкой, когда число является числом Ферма. Числами Ферма являются, например, числа

Существуют ли другие числа Ферма, до сих пор неизвестно.