5. Теорема о сопряженных элементах
Пусть
— произвольный элемент нормального поля К. Рассмотрим элементы
где
— все автоморфизмы из группы Галуа
поля К над полем Р.
При любом автоморфизме S поля К над полем Р числа (1) переходят в числа
т. e. подвергаются лишь некоторой перестановке. Поэтому все коэффициенты многочлена
остаются на месте при любом автоморфизме S, т. е. принадлежат полю Р.
Поскольку
многочлен
минимальный многочлен
элемента а имеют общий корень последовательно, многочлен
делится на многочлен
(ибо многочлен
) неприводим). С другой стороны, мы знаем (см. п. 2), что все числа
(среди этих чисел, вообще говоря, могут быть одинаковые) сопряжены с числом а, т. е. являются корнями многочлена
. Таким образом, каждый корень многочлена
является корнем многочлена
. Пусть
— разложение многочлена
в произведение степеней различных неприводимых многочленов (имеющих старшие коэффициенты, равные единице). Так как многочлен
делится на многочлен
и многочлен
неприводим, то многочлен
должен совпадать с одним из многочленов
(мы предполагаем, что старший коэффициент многочлена
равен единице). Пусть для определенности
, так что
Так как все корни многочлена
являются корнями многочлена
а ни один из корней многочлена
не может быть (в силу неприводимости этих многочленов) корнем многочлена
, то многочлены
не могут иметь корней, т. е.
Таким образом,
Отсюда, в частности, следует, что числа
исчерпывают (вообще говоря, с повторениями) все числа, сопряженные с числом а. Тем самым доказано, что элементы поля К тогда и только тогда сопряжены (над полем Р), когда существует автоморфизм поля К над полем Р, переводящий один элемент в другой.