3. Вычисление группы Галуа произвольного многочлена

Пусть

— произвольный многочлен над полем Р без кратных корней. Раз и навсегда занумеровав его корни

в некотором определенном порядке, будем рассматривать его группу Галуа как группу подстановок степени .

Пусть теперь О — произвольная группа подстановок степени и пусть — определяющий многочлен класса . Подставив в коэффициенты многочлена вместо неизвестных числа мы получим некоторый многочлен уже с числовыми коэффициентами. Поскольку коэффициенты многочлена являются симметрическими многочленами от неизвестных все коэффициенты многочлена принадлежат полю Р.

Легко видеть, что если группа Галуа многочлена содержится в группе О, то хотя бы один корень многочлена принадлежит полю Р.

Действительно, корнями многочлена являются элементы

поля , где — точно принадлежащий группе О многочлен от неизвестных по которому был построен определяющий многочлен , а — полная система представителей смежных классов группы по ее подгруппе О. Если группа Галуа многочлена содержится в группе О, то любая ее подстановка а не меняет многочлена g, т. е. . Пусть S — автоморфизм поля К над полем Р, которому соответствует подстановка а. Тогда

Поскольку S представляет собой произвольный автоморфизм поля К над полем Р, отсюда вытекает (см. ч. I, гл. 3, п. 4), что элемент принадлежит основному полю Р.

Обратное утверждение справедливо в следующей форме: если многочлен не имеет кратных корней и хотя бы один его корень принадлежит полю Р, то группа Галуа многочлена содержится в некоторой группе, сопряженной группе О.

Действительно, пусть а — произвольная подстановка группы Галуа многочлена и пусть S — соответствующий автоморфизм поля над полем Р.

По условию, хотя бы один корень многочлена содержится в поле Р. Пусть это будет корень

Так как другой стороны,

где — представитель смежного класса, содержащего подстановку (таким образом, , где ). Поскольку многочлен не имеет по условию кратных корней, отсюда следует, что , т. е. что , Таким образом, , где . Так как это верно для любой подстановки а группы Галуа, то и вся группа Галуа многочлена содержится в группе . Теорема доказана.

Доказанные теоремы дают удобный практический способ определения класса сопряженных групп, которому принадлежит группа Галуа любого многочлена, т. е. вычисления этой группы «с точностью до изоморфизма». Правда, для его проведения требуется уметь определять, имеет ли данное уравнение над полем Р хотя бы один корень, содержащийся в этом поле, что для случая произвольного поля представляет собой сложную задачу, не имеющую пока общего решения. Однако на практике основным полем Р является, как правило, поле R рациональных чисел, для которого эта задача имеет простое и эффективное решение (см. Курс, стр. 355—358).

Другое затруднение связано с тем, что многочлен может иметь кратные корни, и потому доказанный выше критерий будет неприменим. На практике в этом случае целесообразнее всего произвести дополнительное исследование, пользуясь теми или иными частными соображениями. Однако с теоретической точки зрения это затруднение преодолевается легко.

Именно, оказывается, что для любой группы О и любого многочлена над полем Р без кратных корней всегда существует такой многочлен точно принадлежащий группе О, что соответствующий многочлен не имеет кратных корней.

Для доказательства этого утверждения, очевидно, доста точно доказать, что существует такой многочлен точно принадлежащий группе О, что для любых подстановок а и b степени равенство , где — корни многочлена , имеет место тогда только тогда, когда многочлены совпадают, т. е. когда

С этой целью мы докажем следующее вспомогательное предложение:

в поле Р существуют такие числа что для любого многочлен

обладает следующим свойством:

если подстановки а и b степени по-разному перемещают хотя бы одно из чисел то

Доказательство мы проведем индукцией по числу k. Для предложение очевидно (поскольку все корни различны, за можно взять любое отличное от нуля число поля Р). Пусть это предложение уже доказано для т. е. пусть найден многочлен обладающий требуемым свойством. Поскольку поле Р содержит бесконечно много элементов (например, все рациональные числа), в нем найдется число отличное от всех чисел вида

где а и b — произвольные подстановки степени , перемещающие число k в различные числа . Очевидно, что многочлен

обладает всеми требуемыми свойствами.

Предложение доказано.

Рассмотрим, в частности, многочлен

По доказанному он обладает следующим свойством:

если подстановки а и b степени различны, то

Положим этот многочлен в основу определения нужного нам многочлена (см. п. I), т. е. рассмотрим многочлен

где — все подстановки группы О. Легко видеть, что для любых двух подстановок а и b степени гочлены (рассматриваемые как многочлены над полем ) тогда и только тогда совпадают, когда совпадают многочлены от t над полем

Действительно, если , то Обратно, пусть Корнями многочлена являются числа , а корнями многочлена числа Поскольку у равных многочленов корни могут отличаться только порядком следования, среди чисел содержится, скажем, число . Другими словами, в группе О существует такой элемент , что . Следовательно, и потому (ибо многочлен ) принадлежит группе О; см. п. 1).

Пусть теперь

— такие попарно различные многочлены вида что любой многочлен этого вида равен одному из них.

Поскольку поле Р бесконечно, в нем существует такой элемент что все числа

попарно различны. Пусть

Ясно, что многочлен обладает всеми требуемыми свойствами.