5. Строение составных алгебраических расширений

Пусть - составное алгебраическое расширение поля Р. Оказывается, что любой элемент поля К выражается в виде многочлена (над Р) от , т. е. для любого элемента существует над полем

Я такой многочлен от s неизвестных

Мы докажем это утверждение индукцией по s. Если , то и, следовательно, в этом случае теорема справедлива (см. п. 3). Предполагая теперь, что теорема уже доказана для поля рассмотрим произвольный элемент

Так как , то над полем L существует такой многочлен что . Пусть

По предположению индукции для любого найдется такой многочлен от неизвестных, что

Следовательно, полагая

мы получим, что

Тем самым наше утверждение полностью доказано.

Рассмотрим теперь произвольное алгебраически порожденное расширение поля Р и определим по индукции поля полагая

Так как для любого число алгебраическое над полем Р, алгебраично и над его расширением , то поле является простым алгебраическим расширением поля и, следовательно, поле - составным алгебраическим расширением поля Р. Поэтому, согласно только что доказанному утверждению, любой элемент поля выражается в виде многочлена (над Р) от и, следовательно, принадлежит полю Иначе говоря,

С другой стороны, поле содержит все числа и, в силу минимальности расширения ,

Следовательно,

ибо

Таким образом, любое алгебраически порожденное расширение является составным алгебраическим расширением.

Другими словами, класс расширений типа 2° содержится в классе расширений типа 3°.

В частности, тем самым доказано, что любой элемент алгебраически порожденного расширения выражается в виде многочлена над полем Р от элементов .