ГЛАВА XII. ФЛУКТУАЦИИ

§ 110. Распределение Гаусса

Уже много раз подчеркивалось, что физические величины, характеризующие равновесное макроскопическое тело, практически всегда с очень большой точностью равны своим средним значениям. Однако, как ни малы отклонения от средних значений они все же происходят (величины, как говорят, флуктуируют), и возникает вопрос о нахождении распределения вероятностей этих отклонений.

Рассмотрим какую-либо замкнутую систему, и пусть есть некоторая физическая величина, характеризующая систему в целом или какую-либо ее часть (в первом случае это, конечно, не должна быть величина, остающаяся для замкнутой системы строго постоянной, как, например, ее энергия). В дальнейшем будет удобно полагать, что среднее значение уже вычтено из так что везде ниже предполагается, что

Изложенные в § 7 рассуждения показали, что если рассматривать формальным образом энтропию системы как функцию от точных значений энергий подсистем, то функция будет давать распределение вероятностей для этих энергий (формула (7,17)). Легко, однако, заметить, что в этих рассуждениях не были использованы какие-либо специфические свойства энергии. Поэтому такие же рассуждения приведут к результату, что вероятность величине иметь значение в интервале между пропорциональна , где — энтропия, формально рассматриваемая как функция точного значения Обозначив вероятность посредством имеем

(110,1)

Прежде чем приступить к исследованию этой формулы, остановимся на вопросе о пределах ее применимости. Все рассуждения, которые привели к формуле (110,1), неявно подразумевают классичность поведения величины

Поэтому надо найти условие, допускающее пренебрежение квантовыми эффектами.

Как известно из квантовой механики, между квантовыми неопределенностями энергии и какой-либо величины имеет место соотношение

где х — классическая скорость изменения величины (см. III, § 16).

Пусть — время, характеризующее скорость изменения интересующей нас величины которая имеет неравновесное значение; тогда так что

Ясно, что говорить об определенном значении величины можно лишь при условии малости ее квантовой неопределенности: , откуда

Таким образом, квантовая неопределенность энергии должна быть велика по сравнению с Энтропия же системы будет при этом иметь неопределенность

Для того чтобы формула имела реальный смысл, необходимо, очевидно, чтобы неточность энтропии была мала по сравнению с единицей:

(110,2)

Это и есть искомое условие. При слишком низких температурах или при слишком быстром изменении величины (слишком малом ) флуктуации нельзя рассматривать термодинамически, и на первый план выступают чисто квантовые флуктуации.

Вернемся к формуле (110,1). Энтропия S имеет максимум при Поэтому

Величина при флуктуациях очень мала. Разлагая в ряд по степеням и ограничиваясь членом второго порядка, получим

(110,3)

где — положительная постоянная. Подставляя в (110,1), получим распределение вероятностей в виде

Нормировочная постоянная А определяется условием хотя выражение для относится к малым но ввиду быстрого убывания подынтегральной функции с увеличением область интегрирования можно распространить на все значения от до Произведя интегрирование, получим

Таким образом, распределение вероятностей для различных значений флуктуации определяется формулой

(110,4)

Распределение такого вида называется распределением Гаусса. Оно имеет максимум при и быстро спадает с увеличением симметрично в обе стороны.

Средний квадрат флуктуации равен

(110,5)

Поэтому распределение Гаусса можно написать в виде

Как и следовало, имеет тем более острый максимум, чем меньше

Отметим, что по известному можно найти аналогичную величину для любой функции . В виду малости имеем;