§ 57. Вырожденный электронный газ

Важное принципиальное значение имеет изучение свойств ферми-газа при достаточно низких температурах. Как мы увидим ниже, температуры, о которых при этом идет речь, фактически могут еще быть, с других точек зрения, весьма высокими.

Имея в виду наиболее важные применения статистики Ферми, будем говорить ниже об электронном газе; соответственно этому полагаем (спин s = 1 /2).

Начнем с рассмотрения электронного газа при абсолютном нуле температуры (полностью вырожденный ферми-газ). В таком газе электроны будут распределены по различным квантовым состояниям таким образом, чтобы полная энергия газа имела наименьшее возможное значение. Поскольку в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона, то электроны заполнят все состояния с энергиями от наименьшей (равной нулю) до некоторой наибольшей, величина которой определяется числом электронов в газе.

С учетом двукратного ) спинового вырождения уровней, число квантовых состояний электрона, движущегося в объеме V с абсолютной величиной импульса в интервале между равно

Электроны заполняют все состояния с импульсами от нуля до граничного значения , об этом значении говорят как о радиусе ферми-сферы в импульсном пространстве. Полное число электронов в этих состояниях

откуда для граничного импульса имеем

и для граничной энергии

Эта энергия имеет простой термодинамический смысл. В согласии со сказанным выше функция распределения Ферми по квантовым состояниям (с определенными значениями импульса и проекции спина)

в пределе обращается в «ступенчатую» функцию: единица при и нуль при (на рис. 6 эта функция изображена сплошной линией). Отсюда видно, что химический потенциал газа при Т = 0 совпадает с граничной энергией электронов:

Полная энергия газа получится умножением числа состояний (57,1) на и интегрированием по всем импульсам:

или, подставив (57,2):

Рис. 6.

По общему соотношению (56,8) находим, наконец, уравнение состояния газа

Таким образом, давление ферми-газа при абсолютном нуле температуры пропорционально его плотности в степени 5/3.

Полученные формулы (57,6-7) применимы приближенно также и при температурах, достаточно близких (при данной плотности газа) к абсолютному нулю. Условие их применимости (условие «сильного вырождения» газа) требует, очевидно, малости Т по сравнению с граничной энергией

Это условие, как и следовало ожидать, противоположно условию (45,6) применимости статистики Больцмана. Температуру называют температурой вырождения.

Вырожденный электронный газ обладает своеобразной особенностью он становится тем более идеальным, чем больше его плотность. В этом легко убедиться следующим образом.

Рассмотрим плазму — газ, состоящий из электронов и соответствующего количества положительно заряженных ядер, компенсирующих заряд электронов (газ из одних только электронов был бы, очевидно, вообще неустойчивым; выше мы не говорили о ядрах, поскольку вследствие предполагающейся идеальности наличие ядер не сказывается на термодинамических величинах электронного газа). Энергия кулонового взаимодействия электронов с ядрами (отнесенная к одному электрону) порядка величины где - заряд ядра, — среднее расстояние между электронами и ядрами. Условие идеальности газа заключается в требовании малости этой энергии по сравнению со средней кинетической энергией электронов, которая по порядку величины совпадает с граничной энергией . Неравенство

после подстановки и выражения (57,3) для дает условие

Мы видим, что это условие выполняется тем лучше, чем больше плотность газа

Задача

Определить число столкновений со стенкой в электронном газе при абсолютном нуле температуры.

Решение. Число электронов (в единице объема) с импульсами в интервале направленными под углом к нормали к стенке в интервале , есть

Искомое число столкновений v (отнесенное к стенки) получается умножением на и интегрированием по в пределах от 0 до и по до . В результате найдем