Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 69. Колебания кристаллической решеткиВ предыдущих параграфах мы рассматривали тепловое движение атомов твердого тела как совокупность нормальных малых колебаний кристаллической решетки. Изучим теперь более подробно механические свойства этих колебаний. В каждой элементарной ячейке кристалла находится, вообще говоря, по нескольку атомов. Поэтому каждый атом надо определять заданием элементарной ячейки, в которой он находится, и номером атома в ячейке. Положение элементарной ячейки можно задать радиусом-вектором
где Обозначим смещения атомов при колебаниях посредством
где «вектор» Коэффициенты
очевидным из вида функции (69,2). Из функции Лагранжа (69,2) следуют уравнения движения
Отметим, что коэффициенты
Связей, следующих из инвариантности относительно поворотов, не станем здесь выписывать. Будем искать решения уравнений (69,4) в виде монохроматической плоской волны
Амплитуда (комплексная) зависит только от индекса s, т. е. различна лишь для разных атомов в одной и той же ячейке, но не для эквивалентных атомов в различных ячейках. Векторы Подставив (69,6) в (69,4), получим
Разделив обе части равенства на
где введено обозначение
Система (69,7) линейных однородных алгебраических уравнений для амплитуд имеет отличные от нуля решения при выполнении условия совместности
Поскольку индексы Каждое из Из определения (69,8) и равенств (69,3) следует, что
Другими словами, величины
где индекс (а) у вектора смещения указывает ветвь спектра колебаний, к которой он относится. Равенства (69,11) выражают собой свойство ортогональности поляризаций в различных ветвях спектра. В силу симметрии механических уравнений движения по отношению к изменению знака времени, если возможно распространение некоторой волны (69,6), то возможно распространение такой же волны и в противоположном направлении. Но такое изменение направления эквивалентно изменению знака k. Следовательно, функция
Волновой вектор колебаний решетки обладает следующим важным свойством. Вектор к входит в выражение (69,6) только через экспоненциальный множитель
где b — любой вектор обратной решетки
и поэтому в каждой ее ветви достаточно рассматривать значения вектора к, лежащие в некотором определенном конечном интервале в одной ячейке обратной решетки. Если выбрать оси координат (в общем случае косоугольные) по трем основным периодам обратной решетки, то можно, например ограничиться областью
Когда к пробегает значения в этом интервале, частота В геометрических терминах функциональная зависимость Среди Следовательно, среди
Эти три типа волн называются акустическими; они характеризуются тем, что (при малых к) решетка колеблется в целом как сплошная среда. В пределе к 0 эти колебания переходят в простое параллельное смещение всей решетки. В сложных решетках, содержащих более одного атома в ячейке, существует еще Не все Функция
где Если же предельные частоты нескольких ветвей совпадают, то функции По поводу всего изложенного напомним лишний раз, что речь идет о так называемом гармоническом приближении, в котором учитываются лишь квадратичные по смещениям атомов члены в потенциальной энергии. Только в этом приближении различные монохроматические волны (69,6) не взаимодействуют друг с другом, а свободно распространяются по решетке. При учете же следующих, ангармонических членов появляются различного рода процессы распада и рассеяния этих волн друг на друге. Взаимодействие может приводить также и к образованию «связанных состояний» волн (фононов—см. ниже), — новых ветвей спектра, отсутствующих в гармоническом приближении. Кроме того, предполагается, что решетка обладает идеальной периодичностью. Надо иметь в виду, что идеальная периодичность в некоторой степени нарушается (даже без учета возможных «примесей» и других дефектов решетки), если в кристалле имеются атомы различных изотопов, распределенные беспорядочным образом. Это нарушение, однако, сравнительно невелико, если относительная разность атомных весов изотопов мала или если одного изотопа имеется значительно больше остальных. В этих случаях изложенная картина в первом приближении остается в силе, а в следующих приближениях возникают различного рода процессы рассеяния волн на неоднородностях решетких).
|
1 |
Оглавление
|