Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 141. Флуктуации в жидких кристаллах
Рассмотрим флуктуации, испытываемые направлением директора
в нематическом жидком кристалле (P. G. de Gennes, 1968).
Представим
в виде
, где
— постоянное вдоль всего объема равновесное направление,
— флуктуационное отклонение от этого значения. Поскольку
то
, т. е. вектор v перпендикулярен к
Соответственно этому корреляционная функция флуктуаций
(141,1)
представляет собой двумерный тензор в плоскости, перпендикулярной к
— векторные индексы в этой плоскости). В однородной, но анизотропной жидкости эта функция зависит не только от величины, но и от направления вектора
Сильное влияние на флуктуации директора оказывает магнитное поле. Этот эффект связан с появлением в плотности свободной энергии жидкого кристалла дополнительного члена вида
(141,2)
зависящего от самого вектора
, а не от его производных, как в (140,2). Если
, то равновесное направление
совпадает с направлением поля, а если
, то оно лежит в плоскости, перпендикулярной к полю. Будем считать для определенности, что
так что
. Тогда
; опустив не зависящий от v член, пишем:
(141,3)
Взяв F из (140,2) и (141,3) и сохранив лишь величины второго порядка по V, получим следующее выражение для изменения полной свободной энергии при флуктуации:
(141,4)
(ось x выбрана в направлении
). Подчеркнем, что, используя выражение (140,2) для энергии деформированного кристалла, мы тем самым ограничиваемся рассмотрением флуктуаций с большими (по сравнению с молекулярными размерами) длинами волн.
Далее поступаем подобно тому, как это уже делалось в § 116. Представляем флуктуирующую величину
в виде ряда Фурье в объеме V:
(141,5)
После подстановки этого ряда выражение (141,4) разобьется на сумму членов
каждый из которых зависит только от компоненты
с определенным значением к. Выбрав плоскость
так, чтобы она проходила через направление
), получим
Отсюда
§ 116) находим для средних квадратов флуктуаций
Мы видим, что в отсутствие поля флуктуации фурье-компонент
неограниченно возрастают при
(интегралы же по
определяющие средний квадрат самого вектора v, остаются конечными). Наложение магнитного поля подавляет флуктуации с волновыми векторами
(где а — порядок величины коэффициентов
).
Корреляционная функция (141,1) может быть вычислена из (141,6) по формуле
(141,7)
(ср. (116,13)). Мы не станем приводить довольно громоздкий результат интегрирования. Укажем лишь, что в отсутствие поля корреляционная функция убывает с расстоянием
как
. При наличии же поля убывание становится экспоненциальным, с корреляционным радиусом
.
Аналогичным образом могут быть рассмотрены флуктуации направления директора в холестерическом жидком кристалле, мы ограничимся лишь краткими замечаниями по этому поводу.
В холестерической среде можно различать флуктуации местного направления оси геликоидальной структуры и флуктуации фазы угла поворота вектора
вокруг этой оси. Флуктуации первого из этих типов конечны. Средний же квадрат флуктуации фазы оказывается (в отсутствие магнитного поля) логарифмически расходящимся при к
. В этом отношении флуктуации в среде с одномерной периодичностью ориентационной структуры оказываются аналогичными флуктуациями в среде с одномерной периодичностью расположения частиц (§ 137). Строго говоря, такая периодичность оказывается тем самым невозможной в среде сколь угодно большого протяжения. Однако ввиду большой величины периода геликоидальной структуры в холестерических жидких кристаллах расходимость флуктуаций наступила бы лишь при столь огромных размерах, что весь вопрос становится чисто абстрактным.
Скажем несколько слов о флуктуациях в смектических жидких кристаллах, состоящих из правильно расположенных плоских слоев. Как уже было отмечено в § 139, такая структура размывается тепловыми флуктуациями и потому может осуществляться лишь в ограниченных объемах. Интересно, однако, что эти флуктуации подавляются магнитным полем. Поясним происхождение этого эффекта.
В каждом слое молекулы ориентированы упорядоченным образом с преимущественным направлением, задаваемым директором
; пусть это направление нормально к поверхности слоя.
При флуктуации происходит деформирование поверхности слоев и поворот директора; пусть
— вектор смещения точек слоя, a
- снова изменение директора
При длинноволновых деформациях слой можно рассматривать как геометрическую поверхность, и тогда малые величины v и и связаны друг с другом соотношением
(изменение направления нормали к поверхности); для их фурье-компонент имеем:
, где
— составляющая к в плоскости слоя. При наличии магнитного поля изменение направления директора вносит в дополнительный вклад (141,3), пропорциональный
. В свою очередь это приведет к тому, что в интеграле (137,9), определяющем средний квадрат флуктуационного смещения, в знаменателе подынтегрального выражения появится (наряду с членом
) еще и член
в результате расходимость интеграла исчезнет.
Наконец, остановимся на вопросе о принципиальной возможности существования жидкокристаллических двумерных систем (пленок). В такой системе ориентация молекул задается директором
, лежащим в плоскости пленки. Если рассмотреть его флуктуации (с волновыми векторами к, лежащими в плоскости пленки), то для них получится выражение, аналогичное (141,6): при отсутствии поля
, где
— квадратичная функция компонент вектора k. Но для нахождения полной флуктуации
это выражение должно быть теперь проинтегрировано по
и интеграл логарифмически расходится. Таким образом, тепловые флуктуаций размывают жидкокристаллическую двумерную структуру. Как и в случае твердокристаллической двумерной структуры (§ 137), однако, логарифмический характер расходимости не исключает возможности существования такой структуры в участках конечного размера.