§ 141. Флуктуации в жидких кристаллах

Рассмотрим флуктуации, испытываемые направлением директора в нематическом жидком кристалле (P. G. de Gennes, 1968).

Представим в виде , где — постоянное вдоль всего объема равновесное направление, — флуктуационное отклонение от этого значения. Поскольку то , т. е. вектор v перпендикулярен к Соответственно этому корреляционная функция флуктуаций

(141,1)

представляет собой двумерный тензор в плоскости, перпендикулярной к — векторные индексы в этой плоскости). В однородной, но анизотропной жидкости эта функция зависит не только от величины, но и от направления вектора

Сильное влияние на флуктуации директора оказывает магнитное поле. Этот эффект связан с появлением в плотности свободной энергии жидкого кристалла дополнительного члена вида

(141,2)

зависящего от самого вектора , а не от его производных, как в (140,2). Если , то равновесное направление совпадает с направлением поля, а если , то оно лежит в плоскости, перпендикулярной к полю. Будем считать для определенности, что так что . Тогда ; опустив не зависящий от v член, пишем:

(141,3)

Взяв F из (140,2) и (141,3) и сохранив лишь величины второго порядка по V, получим следующее выражение для изменения полной свободной энергии при флуктуации:

(141,4)

(ось x выбрана в направлении ). Подчеркнем, что, используя выражение (140,2) для энергии деформированного кристалла, мы тем самым ограничиваемся рассмотрением флуктуаций с большими (по сравнению с молекулярными размерами) длинами волн.

Далее поступаем подобно тому, как это уже делалось в § 116. Представляем флуктуирующую величину в виде ряда Фурье в объеме V:

(141,5)

После подстановки этого ряда выражение (141,4) разобьется на сумму членов каждый из которых зависит только от компоненты с определенным значением к. Выбрав плоскость так, чтобы она проходила через направление ), получим

Отсюда § 116) находим для средних квадратов флуктуаций

Мы видим, что в отсутствие поля флуктуации фурье-компонент неограниченно возрастают при (интегралы же по определяющие средний квадрат самого вектора v, остаются конечными). Наложение магнитного поля подавляет флуктуации с волновыми векторами (где а — порядок величины коэффициентов ).

Корреляционная функция (141,1) может быть вычислена из (141,6) по формуле

(141,7)

(ср. (116,13)). Мы не станем приводить довольно громоздкий результат интегрирования. Укажем лишь, что в отсутствие поля корреляционная функция убывает с расстоянием как . При наличии же поля убывание становится экспоненциальным, с корреляционным радиусом .

Аналогичным образом могут быть рассмотрены флуктуации направления директора в холестерическом жидком кристалле, мы ограничимся лишь краткими замечаниями по этому поводу.

В холестерической среде можно различать флуктуации местного направления оси геликоидальной структуры и флуктуации фазы угла поворота вектора вокруг этой оси. Флуктуации первого из этих типов конечны. Средний же квадрат флуктуации фазы оказывается (в отсутствие магнитного поля) логарифмически расходящимся при к . В этом отношении флуктуации в среде с одномерной периодичностью ориентационной структуры оказываются аналогичными флуктуациями в среде с одномерной периодичностью расположения частиц (§ 137). Строго говоря, такая периодичность оказывается тем самым невозможной в среде сколь угодно большого протяжения. Однако ввиду большой величины периода геликоидальной структуры в холестерических жидких кристаллах расходимость флуктуаций наступила бы лишь при столь огромных размерах, что весь вопрос становится чисто абстрактным.

Скажем несколько слов о флуктуациях в смектических жидких кристаллах, состоящих из правильно расположенных плоских слоев. Как уже было отмечено в § 139, такая структура размывается тепловыми флуктуациями и потому может осуществляться лишь в ограниченных объемах. Интересно, однако, что эти флуктуации подавляются магнитным полем. Поясним происхождение этого эффекта.

В каждом слое молекулы ориентированы упорядоченным образом с преимущественным направлением, задаваемым директором ; пусть это направление нормально к поверхности слоя.

При флуктуации происходит деформирование поверхности слоев и поворот директора; пусть — вектор смещения точек слоя, a - снова изменение директора При длинноволновых деформациях слой можно рассматривать как геометрическую поверхность, и тогда малые величины v и и связаны друг с другом соотношением (изменение направления нормали к поверхности); для их фурье-компонент имеем: , где — составляющая к в плоскости слоя. При наличии магнитного поля изменение направления директора вносит в дополнительный вклад (141,3), пропорциональный . В свою очередь это приведет к тому, что в интеграле (137,9), определяющем средний квадрат флуктуационного смещения, в знаменателе подынтегрального выражения появится (наряду с членом ) еще и член в результате расходимость интеграла исчезнет.

Наконец, остановимся на вопросе о принципиальной возможности существования жидкокристаллических двумерных систем (пленок). В такой системе ориентация молекул задается директором , лежащим в плоскости пленки. Если рассмотреть его флуктуации (с волновыми векторами к, лежащими в плоскости пленки), то для них получится выражение, аналогичное (141,6): при отсутствии поля , где — квадратичная функция компонент вектора k. Но для нахождения полной флуктуации это выражение должно быть теперь проинтегрировано по и интеграл логарифмически расходится. Таким образом, тепловые флуктуаций размывают жидкокристаллическую двумерную структуру. Как и в случае твердокристаллической двумерной структуры (§ 137), однако, логарифмический характер расходимости не исключает возможности существования такой структуры в участках конечного размера.