Задачи

1. Потенциальная энергия взаимодействия частиц тела есть однородная функция порядка от их координат. Воспользовавшись соображениями подобия, определить, какой вид должна иметь свободная энергия такого тела в классической статистике.

Решение. В статистическом интеграле

заменим все q на и все на (где - произвольная постоянная). Если одновременно заменить Т на то подынтегральное выражение останется неизменным. Изменятся, однако, пределы интегрирования по координатам линейные размеры области интегрирования изменятся в раз, что сводится к подобному изменению объема в раз; для того чтобы оставить пределы интегрирования неизменными, надо, следовательно, одновременно заменить V на . После всех этих замен интеграл умножится еще на от преобразования переменных в координат и столько же импульсов; N — число частиц в теле). Таким образом, мы приходим к выводу, что при замене

статистический интеграл

Наиболее общий вид функции Z(V, Т), обладающей этим свойством, есть

где - произвольная функция одной переменной.

Отсюда находим для свободной энергии выражение вида

в которое входит всего одна неизвестная функция от одной переменной (число N введено во второй член в (1) таким образом, чтобы F обладало должным свойством аддитивности).

2. Вывести теорему вириала для макроскопического тела, у которого потенциальная энергия взаимодействия частиц есть однородная функция порядка от их координат.

Решение. Следуя методу вывода теоремы вириала в механике (см. I, § 10), вычисляем производную по времени от суммы где — радиусы-векторы и имнульсы частиц тела. Имея в виду, что и что есть однородная функция второго порядка от импульсов, находим

Частицы тела совершают движение в конечной области пространства со скоростями, не обращающимися в бесконечность. Поэтому величина ограничена, и среднее значение ее производной по времени обращается в нуль, так что

(где ). Производные определяются силами, действующими на частицы тела. При суммировании по всем частицам надо учесть наряду с силами взаимодействия этих частиц друг с другой также и силы, действующие на тело (по его поверхности) со стороны окружающих тел:

(интеграл по поверхности преобразуем в интеграл по объему и замечаем, что Таким образом, получим или, вводя полную энергию

Это и есть искомая теорема. Она справедлива не только в классической, но и в квантовой теории. В классическом случае средняя кинетическая энергия и соотношение (2) дает

Эту формулу можно было бы вывести и из выражения (1) для свободной энергии, полученного в задаче 1.

В случае взаимодействия частиц по закону Кулона () имеем из (2)

Это соотношение является предельным случаем релятивистского соотношения

в котором энергия Е включает и себя также и энергию покоя частиц тела (см. 11, § 35).