§ 2. Статистическая независимость

Подсистемы, о которых шла речь в § 1, не являются сами по себе замкнутыми. Напротив, они подвергаются непрерывному воздействию со стороны прочих частей системы. Но благодаря тому, что эти части, малые по сравнению со всей большой системой, являются сами по себе тоже макроскопическими телами, мы можем все же считать, что в течение не слишком больших промежутков времени они ведут себя приблизительно как замкнутые системы. В самом деле, во взаимодействии подсистемы с окружающими частями участвуют преимущественно те частицы, которые находятся вблизи ее поверхности. Но относительное количество этих частиц по сравнению с полным числом частиц в подсистеме быстро падает при увеличении размеров последней, и при достаточной величине подсистемы энергия ее взаимодействия с окружающими частями будет мала по сравнению с ее внутренней энергией. Таким образом, можно сказать, что подсистемы являются квазизамкнутыми. Подчеркнем лишний раз, что квазизамкнутость подсистем имеет место лишь на протяжении не слишком длительных промежутков времени. В течение же достаточно большого промежутка времени влияние взаимодействия подсистем — сколь бы оно ни было слабым — все равно проявится. Больше того, именно это сравнительно слабое взаимодействие и приводит в конце концов к установлению статистического равновесия.

Тот факт, что различные подсистемы можно считать слабо взаимодействующими друг с другом, приводит к тому, что их можно считать независимыми также и в статистическом смысле. Статистическая независимость означает, что состояние, в котором находится одна из подсистем, никак не влияет на вероятности различных состояний других подсистем.

Рассмотрим какие-либо две подсистемы, и пусть и - элементы объема их фазовых пространств. Если рассматривать совокупность обеих подсистем как одну составную подсистему, то с математической точки зрения статистическая независимость подсистем означает, что вероятность составной подсистеме находиться в элементе ее фазового объема разбивается на произведение вероятностей нахождения каждой из подсистем соответственно в причем каждая из этих вероятностей зависит только от координат и импульсов данной подсистемы. Таким образом, можно написать:

или

где - статистическое распределение составной подсистемы, - функции распределения отдельных подсистем; аналогичное соотношение можно написать и для совокупности нескольких подсистемх).

Можно, очевидно, утверждать и обратное: если распределение вероятностей для некоторой сложной системы распадается на произведение множителей, каждый из которых зависит только от величин, описывающих одну из частей системы, то это значит, что эти части статистически независимы, причем каждый из множителей пропорционален вероятности состояний соответствующей части.

Если и - две физические величины, относящиеся к двум различным подсистемам, то из (2,1) и определения средних значений согласно (1,5) непосредственно следует, что среднее значение произведения равно произведению средних значений каждой из величин и в отдельности:

Рассмотрим какую-либо величину относящуюся к некоторому макроскопическому телу или его отдельной части. С течением времени эта величина меняется, колеблясь вокруг своего среднего значения. Введем величину, характеризующую в среднем ширину интервала этого изменения. В качестве такой характеристики нельзя взять среднее значение разности так как величина f отклоняется от своего среднего значения как в ту, так и в другую сторону, и среднее значение разности попеременно то положительной, то отрицательной, окажется равным нулю независимо от того, насколько часто f испытывала значительные отклонения от среднего значения.

В качестве искомой характеристики удобно взять среднее значение квадрата этой разности. Так как величина всегда положительна, то ее среднее значение стремится к нулю лишь если она сама стремится к нулю; другими словами, оно окажется малым только тогда, когда значительные отклонения от обладают малой вероятностью. Величину называют средней квадратичной флуктуацией величины Раскрыв квадрат , найдем, что

т. е. средняя квадратичная флуктуация определяется разностью между средним квадратом величины и квадратом ее среднего значения.

Отношение называют относительной флуктуацией Величины Чем это отношение меньше, тем более ничтожную часть времени тело проводит в таких состояниях, в которых отклонение величины f от ее среднего значения составляет заметную часть этого последнего.

Покажем, что относительная флуктуация физических величин быстро уменьшается при увеличении размеров (числа частиц) тел, к которым они относятся. Для этого заметим предварительно, что большинство величин, представляющих физический интерес, являются аддитивными; это обстоятельство следствие квазизамкнутости отдельных частей тела и состоит в том, что значение такой величины для всего тела равно сумме значений этой величины для отдельных его (макроскопических) частей. Действительно, поскольку, например, внутренние энергии этих частей, согласно сказанному выше, велики по сравнению с энергиями их взаимодействия, то энергию всего тела можно с достаточной точностью считать равной сумме энергий его частей.

Пусть - такая аддитивная величина. Разобьем мысленно рассматриваемое тело на большое число N примерно одинаковых малых частей. Тогда

где величины относятся к отдельным частям тела.

Ясно, что с увеличением размеров тела растет примерно пропорционально N. Далее, определим среднюю квадратичную флуктуацию величины . Имеем

Но в силу статистической независимости различных частей тела средние значения произведений

(поскольку каждое ). Следовательно,

Отсюда следует, что при увеличении N средний квадрат тоже будет расти пропорционально ЛЛ Относительная же флуктуация будет, таким образом, обратно пропорциональна

С другой стороны, если условиться разделять однородное тело на участки определенной малой величины, то ясно, что число таких частей будет пропорционально полному числу частиц (молекул) в теле. Поэтому полученный результат можно сформулировать также, сказав, что относительная флуктуация всякой аддитивной величины f убывает обратно пропорционально квадратному корню из числа частиц макроскопического тела, а потому при достаточно большом их числе самая величина может считаться практически постоянной во времени и равной своему среднему значению. Этот вывод был уже использован в предыдущем параграфе.