Производим интегрирование по частям, после чего вводим новую переменную
Ввиду малости Т подынтегральное выражение быстро убывает с ростом
и потому интеграл по
можно распространить от
до
(где
). Получившийся интеграл подстановкой
приводится к В-интегралу Эйлера, и в результате получается
Для расстояний
усреднив быстро меняющийся квадрат косинуса, получаем окончательно
При
эта формула переходит в (117,11). В асимптотической области, где
велико не только по сравнению с 1, но и по сравнению с
, имеем
3. Определить корреляционную функцию для бозе-газа на больших расстояниях (
) при температурах выше точки
начала бозе-эйнштейновской конденсации, но близких к ней.
Решение. Вблизи точки
химический потенциал
мал (см. задачу к § 62). При этом интеграл в (117,7) (обозначим его
) определяется областью малых значений
. Поэтому, разлагая подынтегральное выражение по
и
, находим
Окончательно
4. Определить корреляционную функцию бозе-газа при
Решение. При
конечная доля числа частиц
находится в состояниях с
(конденсат). Возвращаясь к выражению (117,4) надо предварительно (до перехода от суммирования к интегрированию) выделить в нем члены с равным нулю
или
, учитывая при этом, что число частиц в каждом из квантовых состояний с
После этого сумма преобразуется, как это было сделано в тексте, и в результате вместо (117,7) находим
причем пр дается формулой распределения Бозе с
:
На расстояниях
интеграл
(формула из предыдущей задачи с
, так что
вторым членом можно пренебречь, если только Т не слишком близко к
(так что
не слишком мало). В обратном случае, на расстояниях
интеграл
так что
Отметим, что интеграл
для бозе-газа при
расходится, и потому вычисление по формуле (116,5) привело бы к бесконечному значению флуктуации числа частиц в соответствии с замечанием, сделанным уже в § 113.