§ 5. Статистическая матрица

Переходя к вопросу об особенностях квантовой статистики, отметим, прежде всего, что чисто механический подход к задаче об определении поведения макроскопического тела в квантовой механике, разумеется, столь же безнадежен, как и в классической механике.

При таком подходе требовалось бы решать уравнение Шредингера для системы, состоящей из всех частиц тела, — задача, если можно так выразиться, еще более безнадежная, чем интегрирование классических уравнений движения. Но даже, если бы оказалось возможным в том или ином случае найти общее решение уравнения Шредингера, было бы абсолютно невозможным выбрать и записать удовлетворяющее данным конкретным условиям задачи частное решение, характеризующееся определенными значениями грандиозного числа различных квантовых чисел. Больше того, мы увидим ниже, что для макроскопического тела понятие о стационарных состояниях вообще становится в известном смысле условным, — обстоятельство, имеющее существенное, принципиальное значение.

Выясним предварительно некоторые особенности, которые характеризуют с чисто квантовомеханической точки зрения макроскопические тела по сравнению с системами, состоящими из сравнительно малого числа частиц.

Эти особенности сводятся к необычайной густоте распределения уровней в спектре собственных значений энергии макроскопического тела. Причину такой густоты легко понять, если заметить, что благодаря колоссальному числу частиц в теле всякая энергия может быть, грубо говоря, «распределена» по различным частицам бесчисленным числом способов. Связь этого обстоятельства с густотой уровней становится в особенности ясной, если рассмотреть для примера макроскопическое тело, представляющее собой «газ» из N совершенно невзаимодействующих частиц, заключенных в некотором объеме. Уровни энергии такой системы представляют собой просто суммы энергий отдельных частиц, причем энергия каждой частицы пробегает бесконечный ряд дискретных значений. Ясно, что, выбирая всеми различными способами значения N членов этой суммы, мы получим во всяком сколько-нибудь заметном конечном участке спектра огромное число возможных значений энергии системы, которые, следовательно, будут расположены очень близко друг к другу.

Можно показать (см. (7,18)), вообще, что число уровней в заданном конечном интервале энергетического спектра макроскопического тела возрастает с увеличением числа содержащихся в нем частиц по экспоненциальному закону, а расстояния между уровнями выражаются числами вида (где N — число порядка величины числа частиц в теле), безразлично в каких единицах, так как разница между различными единицами энергии совершенно не существенна для такого чудовищно малого числа.

Вследствие чрезвычайной густоты уровней макроскопическое тело никогда не может фактически находиться в строго стационарном состоянии. Прежде всего ясно, что значение энергии системы во всяком случае будет «размытым» на величину порядка энергии взаимодействия системы с окружающими телами. Но последняя неизмеримо велика по сравнению с расстояниями между уровнями, причем не только для «квазизамкнутых» подсистем, но и для таких систем, которые мы со всякой иной точки зрения могли бы считать строго замкнутыми. В природе, разумеется, нет полностью замкнутых систем, взаимодействие которых с любым другим телом равно в точности нулю; всякое же фактически остающееся взаимодействие, которое может быть даже настолько малым, что не отражается ни на каких других свойствах системы, будет все еще чрезвычайно велико по сравнению с исчезающе малыми интервалами ее энергетического спектра.

Но и помимо этого существует другая глубокая причина, в силу которой макроскопическое тело не может фактически находиться в стационарном состоянии. Как известно из квантовой механики, состояние системы, описывающееся некоторой волновой функцией, возникает в результате некоторого процесса взаимодействия этой системы с другой системой, которая с достаточной точностью подчиняется классической механике. Особыми свойствами обладает при этом возникновение стационарного состояния. Здесь необходимо различать значение энергии системы до взаимодействия Е и энергию Е состояния, возникающего в результате взаимодействия. Как известно (см. III, § 44), неточности величин Е и Е связаны с продолжительностью Ы процесса взаимодействия соотношением

Обе погрешности всеобще говоря, одинакового порядка величины, и анализ показывает, что нельзя добиться, чтобы было . Поэтому можно утверждать, что и Но для того чтобы состояние можно было рассматривать как стационарное, неточность АЕ должна во всяком случае быть малой по сравнению с расстояниями до соседних уровней.

В силу чрезвычайной малости последних мы видим, что для приведения макроскопического тела в какое-либо определенное стационарное состояние потребовалось бы неизмеримо большое время . Другими словами, мы снова приходим к выводу о невозможности осуществления строго стационарных состояний макроскопического тела.

Вообще описание состояния макроскопического тела с помощью волновой функции неосуществимо, ибо фактически возможный запас данных о состоянии такого тела далеко не соответствует полному набору данных, необходимому для построения его волновой функции. Положение здесь в известном смысле аналогично тому, которое имеет место в классической статистике, где невозможность учета начальных условий для всех частиц тела приводит к невозможности точного механического описания его поведения; аналогия, впрочем, неполная, так как невозможность полного квантово-механического описания и отсутствие волновой функции, описывающей макроскопическое тело, могут, как мы видели, иметь гораздо более глубокие основания.

Квантовомеханическое описание, основанное на неполном наборе данных о системе, осуществляется, как известно, посредством так называемой матрицы плотности (см. III, § 14). Знание матрицы плотности позволяет вычислять среднее значение любой величины, характеризующей систему, а также вероятности различных значений этих величин. Неполнота описания заключается при этом в том, что результаты различного рода измерений, которые можно предсказать на основании знания матрицы плотности с некоторой долей вероятности, могли бы, возможно, быть предсказаны с большей или даже полной достоверностью на основании полного набора сведений о системе, достаточного для построения ее волновой функции.

Мы не станем выписывать здесь известных из квантовой механики формул, относящихся к матрице плотности в координатном представлении, так как это представление фактически не применяется в статистике. Покажем, однако, каким образом можно непосредственно ввести матрицу плотности в энергетическом представлении, необходимом для статистических применений.

Рассмотрим некоторую подсистему и введем понятие о ее «стационарных состояниях» как о состояниях, получающихся при полном пренебрежении всеми взаимодействиями данной подсистемы с окружающими частями замкнутой системы. Пусть будут нормированные волновые функции этих состояний (без временного множителя), где q условно обозначает совокупность всех координат подсистемы, а индекс — совокупность всех квантовых чисел, отличающих различные стационарные состояния; энергии этих состояний будем обозначать посредством

Предположим, что в данный момент времени подсистема находится в некотором полно описанном состоянии с волновой функцией

Последнюю можно разложить по образующим полную систему функциям Напишем это разложение в виде

Среднее значение любой величины в данном состоянии может быть, как известно, вычислено по коэффициентам с помощью формулы

(5,2)

где

— матричные элементы величины f (f — соответствующий ей оператор).

Переход от полного к неполному квантовомеханическому описанию подсистемы можно рассматривать в некотором смысле как усреднение по ее различным -состояниям. В результате такого усреднения произведения спст дадут двойной (по двум индексам) набор некоторых величин, которые мы обозначим посредством и которые не могут уже быть выражены в виде произведений каких-либо величин, образующих ординарный набор. Среднее значение величины выразится теперь формулой вида

Совокупность величин (вообще говоря, функций времени) и представляет собой матрицу плотности в энергетическом представлении; в статистике ее называют статистической матрицей Если рассматривать как матричные элементы некоторого статистического оператора w, то сумма будет диагональным матричным элементом произведения операторов а среднее значение напишется в виде следа (суммы диагональных элементов) этого оператора

Такая форма записи обладает тем преимуществом, что дает возможность производить вычисления с помощью произвольного полного набора взаимно ортогональных и нормированных волновых функций: след оператора не зависит от выбора системы функций, по отношению к которым определяются матричные элементы (см. III, § 12).

Аналогичным образом видоизменяются и другие квантовомеханические выражения, в которые входят величины всякий раз произведения спст должны заменяться на «усредненные значения»

Так, вероятность подсистеме находиться в состоянии будет равна соответствующему диагональному элементу матрицы плотности (вместо квадрата модуля ). Очевидно, что эти элементы, которые мы будем обозначать ниже посредством всегда положительны

и удовлетворяют условию нормировки

(соответствующему условию )

Необходимо подчеркнуть, что усреднение по различным состояниям, которые мы ввели с целью сделать наглядным переход от полного квантовомеханического описания к неполному, имеет лишь весьма условный смысл. В частности, было бы совершенно неправильным считать, что описание с помощью матрицы плотности соответствует тому, что подсистема может с различными вероятностями находиться в различных -состояниях, а производимое усреднение есть усреднение по этим вероятностям; такое утверждение вообще противоречило бы основным принципам квантовой механики.

Состояния квантовой системы, описывающиеся волновыми функциями, иногда называют чистыми состояниями в отличие от смешанных состояний, описывающихся матрицей плотности. Следует, однако, предостеречь от неправильного понимания последних в указанном выше смысле.

Усреднение с помощью статистической матрицы, определяемое формулой (5,4), имеет двоякую природу. Оно включает в себя как усреднение, связанное с вероятностным характером квантового описания даже наиболее полного самого по себе, так и статистическое усреднение, необходимость в котором возникает в результате неполноты наших сведений о рассматриваемом объекте. В случае чистого состояния остается лишь первое усреднение, в статистических же случаях всегда присутствуют оба элемента усреднения.

Необходимо, однако, иметь в виду, что эти элементы отнюдь не могут быть отделены друг от друга; все усреднение производится единым образом, и его невозможно представить как результат последовательно производимых чисто квантовомеханического и чисто статистического усреднений.

Статистическая матрица заменяет в квантовой статистике функцию распределения классической статистики. Все сказанное в предыдущих параграфах применительно к классической статистике по поводу практически определенного характера делаемых ею предсказаний полностью относится и к квантовой статистике. Изложенное в § 2 доказательство стремления к нулю (при увеличении числа частиц) относительных флуктуаций аддитивных физических величин вообще не использовало каких-либо особенностей, специфических для классической механики, и потому полностью относится и к квантовому случаю. Мы можем, следовательно, по-прежнему утверждать, что макроскопические величины остаются практически равными своим средним значениям.

В классической статистике функция распределения непосредственно дает распределение вероятностей различных значений координат и импульсов частиц тела. В квантовой же статистике это не так: величины дают лишь вероятности найти тело в том или ином квантовом состоянии, без всякого непосредственного указания на значения координат или импульсов частиц.

В силу самой природы квантовой механики, в основанной на ней статистике речь может идти лишь о нахождении распределения вероятностей для координат или импульсов в отдельности, а не тех и других вместе, поскольку координаты и импульсы частицы вообще не могут одновременно иметь определенных значений. Искомые распределения вероятностей должны учитывать как статистическую неопределенность, так и неопределенность, присущую квантовомеханическому описанию самому по себе. Для нахождения этих распределений снова воспользуемся примененным выше способом рассуждений. Предположим сначала, что тело находится в чистом квантовом состоянии с волновой функцией (5,1). Распределение вероятностей для координат определяете» при этом квадратом модуля:

так что вероятность координатам иметь значения в данном интервале равна Переход к смешанному состоянию производится путем замены произведений спст элементами статистической матрицы, в результате чего переходит в сумму

Но по определению матричных элементов можно написать:

Поэтому

Таким образом, находим следующую формулу для распределения вероятностей по координатам:

В написанном в такой форме выражении можно пользоваться в качестве функций любой полной системой нормированных волновых функций.

Далее, определим распределение вероятностей для импульсов. Квантовые состояния, в которых все импульсы имеют определенные значения, соответствуют свободному движению всех частиц. Обозначим волновые функции этих состояний посредством (q), где индекс условно обозначает совокупность значений всех импульсов. Как мы знаем, диагональные элементы матрицы плотности представляют собой вероятности нахождения системы в соответствующих квантовых состояниях. Поэтому, определив матрицу плотности по отношению к системе функций мы получим искомое распределение вероятностей для импульсов по формуле

(5,9)

где .

Любопытно, что оба распределения — по координатам и по импульсам могут быть получены интегрированием одной и той же функции

Проинтегрировав ее по мы получим распределение по импульсам (5,9). Интегрирование же по дает

в согласии с общим определением (5,8). Отметим также, что функция (5,10) может быть выражена через координатную матрицу плотности согласно

Подчеркнем, однако, что сказанное отнюдь не означает, что функцию можно рассматривать как распределение вероятностей для координат и импульсов одновременно; не говоря уже о том, что такая точка зрения вообще противоречила бы основным принципам квантовой механики, выражение (5,10) комплексно.