Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 77. Связь вириального коэффициента с амплитудой рассеянияПри вычислении вириальных коэффициентов в §§ 74—76 мы исходили из классической статистики, что практически всегда оправдано. Представляет, однако, методический интерес вопрос о вычислении этих коэффициентов в квантовом случае; реально такой случай может представить гелий при достаточно низких температурах. Покажем, каким образом может быть вычислен второй вириальный коэффициент с учетом квантования парного взаимодействия частиц газа (Е. Beth, G. Е. Uhlenbeck, 1937). Мы будем рассматривать одноатомный газ, атомы которого не обладают электронным моментом; имея в виду случай гелия, будем для определенности считать также, что ядра атомов не имеют спина и что атомы подчиняются статистике Бозе. В интересующем нас приближении достаточно сохранить в формуле (35,3), определяющей потенциал О, лишь первые три члена суммы по
Здесь Нашей целью является вычисление лишь тех поправочных членов в термодинамических величинах, которые связаны с непосредственным взаимодействием атомов; поправки же, связанные с квантовомеханическими обменными эффектами, имеющиеся уже в идеальном газе, определяются формулой (56,15), согласно которой обменная часть второго вириального коэффициента равна (в случае статистики Бозе)
Таким образом, наша задача сводится к вычислению суммы
причем из нее должно еще быть вычтено выражение, которое получилось бы для двух невзаимодействующих атомов. Уровни энергии
Если обозначить посредством
Рассматривая второй член как малую добавку к первому и выражая его через Т, V и N (с помощью формулы (45,5) для химического потенциала идеального газа), получим для свободной энергии выражение
Дифференцируя по V, получим давление, причем интересующая нас обусловленная взаимодействием атомов часть вириального коэффициента равна
Спектр уровней энергии Первые обозначим посредством
по дискретному спектру входит в На больших расстояниях
где фазы
где s — целые числа. Но при большом R ряд этих значений очень густ, и в сумме
можно перейти к интегрированию. Для этого при заданном l умножаем суммируемое выражение на
и интегрируем по
Для частиц, подчиняющихся статистике Бозе и не обладающих спином, координатные волновые функции должны быть симметричными; это значит, что допустимы лишь четные значения l, так что суммирование по l производится по всем четным числам. При свободном движении все фазы
а вириальный коэффициент
Как известно фазы
где
Стоящая же слева сумма как раз входит в подынтегральное выражение в (77,4), и в результате его подстановки (и интегрирования по частям в одном из членов) получим
Если в поле Дискретные уровни, однако, могут и отсутствовать вовсе; тогда вириальный коэффициент будет зависеть от температуры по степенному закону (если учесть, что при Отметим, что в случае слабого взаимодействия, когда столкновения частиц могут быть описаны борновским приближением, амплитуда рассеяния мала, и третий член в (77,6), квадратичный по этой амплитуде, может быть опущен. При слабом взаимодействии отсутствуют связанные состояния, а потому отсутствует и первый член в (77,6). Используя известное выражение для амплитуды рассеяния Задача В квазиклассическом случае определить квантовую поправку (порядка Решение. Поправка к классической свободной энергии дается формулой (33,15). Учитывая, что в данном случае осуществляется лишь парное взаимодействие атомов и что
Это выражение представляет собой поправку к основному, классическому значению, даваемому формулой (74,5). Отметим, что
|
1 |
Оглавление
|