§ 138. Корреляционная функция в двумерных системах

Выражение (137,11) определяет средний квадрат флуктуационного смещения в каждой заданной точке двумерной кристаллической системы. Более глубокое понимание свойств таких систем может быть достигнуто путем рассмотрения функции корреляции между флуктуациями в различных точках системы.

Прежде всего заметим, что при двумерная решетка вполне могла бы существовать при любых размерах: расходимость интеграла (137,11) связана именно с тепловыми () флуктуациями; пусть ( - функция плотности этой системы при ). Определим теперь корреляционную функцию флуктуаций плотности при конечных, но достаточно низких температурах (малых по сравнению с дебаевской). В этих условиях в решетке возбуждены лишь длинноволновые колебания; другими словами, изменение функции плотности определяется в основном длинноволновыми флуктуациями.

Пусть атомы в точках решетки испытывают флуктуационные смещения . Если функция мало меняется на расстояниях порядка постоянной решетки (что соответствует интересующим нас флуктуациям с малыми волновыми векторами), то изменение плотности в каждой точке пространства можно рассматривать как результат просто сдвига решетки на величину, равную местному значению вектора смещения. Другими словами, флуктуирующая плотность запишется как а корреляция между ее флуктуациями в различных точках определяется средним значением

(138,1)

Разложим периодическую функцию в ряд Фурье (ср. (133,2)):

(138,2)

где - векторы обратной решетки (плоской); из суммы выделен постоянный член .

При подстановке этих рядов в (138,1) и усреднении члены с произведениями с как мы увидим ниже, выпадают. Произведение же с дает в (138,1) вклад

(138,3)

(для краткости пишем )

Распределение вероятностей для флуктуаций вектора смещения дается формулой (137,2) в которой квадратичный функционал от . Если рассматривать значения в различных (дискретных) точках пространства как различные флуктуирующие величины то это значит, что распределение вероятностей для них — гауссово. Тогда можно воспользоваться для усреднения в (138,3) формулой

(см. задачу к § 111), что дает

(138,4)

где

Остается подставить сюда в виде разложений (137,1). Заметив при этом, что средние значения равны нулю при а при к даются выражениями (137,11), получим

(138,5)

Этот интеграл сходится при малых k, поскольку множитель при Со стороны же больших значений k интеграл логарифмически расходится. Эта расходимость связана в действительности лишь с неприменимостью использованных приближений при больших при (с — скорость звука; см. § 110) флуктуации перестают быть классическими (при низких температурах это условие нарушается раньше, чем условие , где а — постоянная решетки).

Замечая также, что при больших k член с быстро осциллирующим множителем кг в подынтегральном выражении может быть опущен, находим

(138,6)

(черта над означает усреднение по направлениям вектора к в плоскости).

Искомую корреляционную функцию мы получим теперь, подставив (138,6) в (138,3-4) и просуммировав по b; асимптотический закон убывания этой функции с расстоянием определяется наименее быстро убывающим членом суммы:

(138,7)

где в качестве b надо выбрать тот из основных периодов обратной решетки, для которого величина имеет наименьшее значение.

Таким образом, в двумерной решетке корреляционная функция хотя и стремится к нулю при (в противоположность трехмерной решетке, где она стремится к конечному пределу), но лишь по степенному закону, причем тем более медленному, чем ниже температура.

Аналогичные, хотя и несколько более громоздкие вычисления приводят к закону такого же типа и для корреляционной функции в трехмерной системе с функцией плотности .

Напомним для сравнения, что в обычной жидкости корреляционная функция убывает по гораздо более быстрому, экспоненциальному, закону (см. § 116).