§ 38. Распределение Больцмана в классической статистике

Если бы движение молекул газа (и атомов в них) подчинялось классической механике, мы могли бы ввести вместо распределения по квантовым состояниям распределение молекул по фазовому пространству, т. е. по импульсам и координатам. Пусть — среднее число молекул, «заключенных» в элементе объема фазового пространства молекулы ( — число степеней свободы молекулы). Напишем его в виде

и будем называть плотностью в фазовом пространстве (хотя отличается множителем от элемента объема фазового пространства).

Мы получим теперь вместо (37,5)

где - энергия молекулы как функция координат и импульсов ее атомов.

Обычно, однако, квазиклассичным оказывается не все движение молекулы, а лишь движение, соответствующее части ее степеней свободы. В частности, в газе, не находящемся во внешнем поле, всегда квазиклассично поступательное движение молекул. При этом кинетическая энергия поступательного движения входит в энергию молекулы как независимое слагаемое, а остальная часть энергии вовсе не содержит координат и импульсов центра инерции молекулы. Это обстоятельство позволяет выделить из общей формулы распределения Больцмана множитель, определяющий распределение молекул газа по указанным переменным. Распределение молекул по занимаемому газом объему будет, очевидно, просто однородным, а для числа молекул, приходящихся на единицу объема и имеющих импульсы (поступательного движения) в заданных интервалах получим формулу распределения Максвелла

( - масса молекулы), нормированную на частиц в единице объема.

Рассмотрим далее газ, находящийся во внешнем поле, в котором потенциальная энергия молекулы есть функция только от координат ее центра инерции: u = u(х, у, z) (таково, например, гравитационное поле). Если, как это практически всегда имеет место, поступательное движение в этом поле квазиклассично, то и входит в энергию молекулы в качестве независимого слагаемого. Максвелловское распределение по скоростям молекул остается, разумеется, неизменным, а распределение по координатам центра инерции определится формулой

Эта формула дает число молекул в элементе пространственного объема ; величина же

представляет собой плотность числа частиц.

Постоянная есть плотность в точках, где Формула (38,6) называется формулой Больцмана.

В частности, в однородном поле тяжести, направленном вдоль оси и распределение плотности газа определяется так называемой барометрической формулой

где - плотность на уровне z = 0.

На больших расстояниях от Земли ее гравитационное поле должно описываться точным ньютоновским выражением, причем потенциальная энергия и обращается на бесконечности в нуль. Согласно формуле (38,6) плотность газа должна была бы иметь при этом на бесконечности отличное от нуля конечное значение. Однако конечное количество газа не может быть распределено по бесконечному объему с нигде не исчезающей плотностью. Это значит, что в гравитационном поле газ (атмосфера) не может находиться в равновесии и должен непрерывно рассеиваться в пространство.