§ 66. Интерполяционная формула Дебая

Таким образом, в обоих предельных случаях — низких и высоких температур оказывается возможным произвести достаточно полное вычисление термодинамических величин твердого тела. В промежуточной же области температур такое вычисление в общем виде невозможно, так как сумма по частотам в (64,1) существенно зависит от конкретного распределения частот по всему спектру колебаний данного тела.

Вследствие этого представляет интерес построение единой интерполяционной формулы, которая давала бы правильные значения термодинамических величин в обоих предельных случаях. Решение задачи об отыскании такой формулы, разумеется, неоднозначно. Однако следует ожидать, что разумным образом построенная интерполяционная формула будет, по крайней мере качественно, правильно описывать поведение тела и во всей промежуточной области.

Вид термодинамических величин твердого тела при низких температурах определяется распределением (64,4) частот в спектре колебаний. При высоких же температурах существенно, что возбуждены все колебаний.

Поэтому для построения искомой интерполяционной формулы естественно исходить из модели, в которой на всем протяжении спектра колебаний частоты распределены по закону (64,4) (который в действительности справедлив лишь для малых частот), причем спектр, начинаясь от обрывается при некоторой конечной частоте последняя определяется условием равенства полного числа колебаний правильному значению

откуда

Таким образом, распределение частот в рассматриваемой модели дается формулой

для числа колебаний с частотами в интервале (мы выразили и через .

Переходя в (64,1) от суммы к интегралу, получим теперь

Введем так называемую дебаевскую или характеристическую температуру тела 0, определив ее как

(0 есть, разумеется, функция плотности тела). Тогда

Интегрируя по частям и вводя функцию Дебая

можно переписать эту формулу в виде

Для энергии получим отсюда

и для теплоемкости

На рис. 8 дан график зависимости от .

Формулы (66,6—8) и представляют собой искомые интерполяционные формулы для термодинамических величин твердого тела (P. Debye, 1912).

Рис. 8.

Легко видеть, что в обоих предельных случаях эти формулы действительно дают правильные результаты. При (низкие температуры) аргумент функции Дебая велик. В первом приближении можно заменить хнаоов верхнем пределе интеграла в определении (66,5) функции получающийся определенный интеграл равен так что

Подставляя это в (66,8), получим

что совпадает с (64,9). При высоких же температурах аргумент функции Дебая мал; при 1 в первом приближении , и из (66,8) имеем: снова в полном согласии с ранее полученным результатом (65.5).

Полезно указать, что фактический ход функции приводит к тому, что критерием применимости предельных законов для теплоемкости является относительная величина Т и : теплоемкость можно считать постоянной при и пропорциональной при .

Согласно формуле Дебая теплоемкость есть некоторая универсальная функция отношения Другими словами, согласно этой формуле должны быть одинаковыми теплоемкости различных тел, находящихся, как говорят, в соответственных состояниях, т. е. обладающих одинаковыми

Формула Дебая хорошо (в той степени, в которой этого вообще можно требовать от интерполяционной формулы) передает ход теплоемкости с температурой лишь у ряда тел с простыми кристаллическими решетками у большинства элементов и у ряда простых соединений (например, галоидных солей). К телам с более сложной структурой она фактически неприменима; это вполне естественно, поскольку у таких тел спектр колебаний чрезвычайно сложен.