§ 66. Интерполяционная формула Дебая
Таким образом, в обоих предельных случаях — низких и высоких температур оказывается возможным произвести достаточно полное вычисление термодинамических величин твердого тела. В промежуточной же области температур такое вычисление в общем виде невозможно, так как сумма по частотам в (64,1) существенно зависит от конкретного распределения частот по всему спектру колебаний данного тела.
Вследствие этого представляет интерес построение единой интерполяционной формулы, которая давала бы правильные значения термодинамических величин в обоих предельных случаях. Решение задачи об отыскании такой формулы, разумеется, неоднозначно. Однако следует ожидать, что разумным образом построенная интерполяционная формула будет, по крайней мере качественно, правильно описывать поведение тела и во всей промежуточной области.
Вид термодинамических величин твердого тела при низких температурах определяется распределением (64,4) частот в спектре колебаний. При высоких же температурах существенно, что возбуждены все
колебаний.
Поэтому для построения искомой интерполяционной формулы естественно исходить из модели, в которой на всем протяжении спектра колебаний частоты распределены по закону (64,4) (который в действительности справедлив лишь для малых частот), причем спектр, начинаясь от
обрывается при некоторой конечной частоте
последняя определяется условием равенства полного числа колебаний правильному значению
откуда
Таким образом, распределение частот в рассматриваемой модели дается формулой
для числа колебаний с частотами в интервале
(мы выразили и через
.
Переходя в (64,1) от суммы к интегралу, получим теперь
Введем так называемую дебаевскую или характеристическую температуру тела 0, определив ее как
(0 есть, разумеется, функция плотности тела). Тогда
Интегрируя по частям и вводя функцию Дебая
можно переписать эту формулу в виде
Для энергии
получим отсюда
и для теплоемкости
На рис. 8 дан график зависимости
от
.
Формулы (66,6—8) и представляют собой искомые интерполяционные формулы для термодинамических величин твердого тела (P. Debye, 1912).
Рис. 8.
Легко видеть, что в обоих предельных случаях эти формулы действительно дают правильные результаты. При
(низкие температуры) аргумент функции Дебая
велик. В первом приближении можно заменить хнаоов верхнем пределе интеграла в определении (66,5) функции
получающийся определенный интеграл равен
так что
Подставляя это в (66,8), получим
что совпадает с (64,9). При высоких же температурах
аргумент функции Дебая мал; при 1 в первом приближении
, и из (66,8) имеем:
снова в полном согласии с ранее полученным результатом (65.5).
Полезно указать, что фактический ход функции
приводит к тому, что критерием применимости предельных законов для теплоемкости является относительная величина Т и
: теплоемкость можно считать постоянной при
и пропорциональной
при
.
Согласно формуле Дебая теплоемкость есть некоторая универсальная функция отношения
Другими словами, согласно этой формуле должны быть одинаковыми теплоемкости различных тел, находящихся, как говорят, в соответственных состояниях, т. е. обладающих одинаковыми
Формула Дебая хорошо (в той степени, в которой этого вообще можно требовать от интерполяционной формулы) передает ход теплоемкости с температурой лишь у ряда тел с простыми кристаллическими решетками у большинства элементов и у ряда простых соединений (например, галоидных солей). К телам с более сложной структурой она фактически неприменима; это вполне естественно, поскольку у таких тел спектр колебаний чрезвычайно сложен.