§ 151. Фазовый переход второго рода в двумерной решетке

Невозможность теоретического определения критических индексов в общем виде придает особый интерес рассмотрению простой модели, допускающей точное аналитическое решение задачи о фазовом переходе второго рода. Это определенная модель двумерной решетки, для которой задача о фазовом переходе была впервые решена Онсагером (L. Onsager, 1944).

Рассматриваемая модель представляет собой плоскую квадратную решетку, состоящую из N узлов, в каждом из которых находится «диполь» с осью, перпендикулярной к плоскости решетки. Диполь может иметь две противоположные ориентации, так что общее число возможных конфигураций диполей в решетке равно 2 2). Для описания различных конфигураций поступим следующим образом. С каждым узлом решетки (с целочисленными координатами k, I) свяжем переменную принимающую два значения ±1, соответствующие двум возможным ориентациям диполя. Если ограничиться только учетом взаимодействия между соседними диполями, то энергия конфигурации может быть записана в виде

(151,1)

(L — число узлов в ребре решетки, которую представляем себе в виде большого квадрата; ). Параметр J определяет энергию взаимодействия пары соседних диполей, равную —J и +J соответственно для одинаковых и противоположных ориентаций диполей.

Будем полагать; что Тогда наименьшей энергией обладает «полностью поляризованная» (упорядоченная) конфигурация, в которой все диполи ориентированы в одну сторону. Эта конфигурация осуществляется при абсолютном нуле, а с увеличением температуры степень упорядоченности убывает, обращаясь в нуль в точке перехода, когда обе ориентации каждого диполя становятся равновероятными.

Определение термодинамических величин требует вычисления статистической суммы

(151,2)

взятой по всем возможным конфигурациям (мы обозначили ). Заметим, что

в чем легко убедиться, разложив обе стороны равенства по степеням и учитывая, что все . Поэтому выражение (151,2) можно переписать в виде

(151,3)

где

(151,4)

и введено обозначение

Под знаком суммы в (151,4) стоит полином по переменным . Поскольку каждый узел связан с четырьмя соседями, то каждое может встретиться в полиноме в степенях от нулевой до четвертой. После суммирования по всем члены, содержащие нечетные степени обратятся в нуль, так что ненулевой вклад дадут только члены, содержащие в степенях 0, 2 и 4. Поскольку , то каждый член полинома, содержащий все переменные в четных степенях, даст вклад в сумму, пропорциональный полному числу конфигураций .

Каждому члену полинома можно однозначно поставить в соответствие совокупность линий («связей»), соединяющих некоторые пары соседних узлов решетки. Так, изображенным на рис. 70 графикам соответствуют члены полинома:

Каждой линии графика сопоставляется множитель а каждому ее концу — множитель

Тот факт, что отличный от нуля вклад в статистическую сумму дают лишь члены полинома, содержащие все в четных степенях, геометрически означает, что в каждом узле графика должны оканчиваться либо две, либо четыре связи. Другими словами, суммирование ведется только по замкнутым графикам, причем допускается самопересечение в узлах (как в узле на рис. 70, б).

Рис. 70.

Таким образом, сумма 5 может быть представлена в следующем виде:

(151,5)

где - число замкнутых графиков, составленных из (четного) числа связей; при этом всякий многосвязный график (например, график рис. 70, в) считается за один.

Дальнейший расчет состоит из двух этапов: 1) сумма по графикам указанного вида преобразуется в сумму по всем возможным замкнутым петлям, 2) получающаяся сумма вычисляется путем сведения к задаче о «случайных блужданиях» точки по решетке.

Будем рассматривать каждый график как совокупность одной или нескольких замкнутых петель. Для графиков без самопересечений такое представление самоочевидно; так, график рис. 70, в есть совокупность двух петель. Для графиков же с самопересечениями такое разбиение неоднозначно; одна и та же фигура может состоять из различного числа петель в зависимости от способа ее построения. Это иллюстрируется рис. 71, показывающим три способа представления графика рис. 70, б в виде одной или двух петель без самопересечений или в виде одной петли с самопересечением. Аналогичным образом может быть пройдено тремя способами каждое пересечение и на более сложных графиках.

Легко видеть, что сумму (151,5) можно распространить по всем возможным совокупностям петель, если при подсчете чисел графиков каждый из них брать со знаком где — полное число самопересечений в петлях данной совокупности. Действительно, при таком подсчете все лишние члены суммы автоматически выпадают. Так, три графика рис. 71 войдут соответственно со знаком +, +, -, так что два из них взаимно сократятся и останется, как и следовало, всего однократный вклад в сумму. В новой сумме будут фигурировать также графики с «повторяющимися связями», простейший пример которых изображен на рис. 72, а.

Рис. 71.

Рис. 72.

Эти графики относятся к числу недопустимых (в некоторых узлах сходится нечетное число связей — три), но, как и следовало, из суммы они фактически выпадают: при построении соответствующих такому графику петель каждая общая связь может быть пройдена двумя способами без пересечения (как на рис. 72, б) или с самопересечением (рис. 72, в), причем получающиеся совокупности петель войдут в сумму с противоположными знаками и взаимно сократятся. Далее можно избавиться от необходимости учитывать в явном виде число пересечений, если воспользоваться известным геометрическим фактом: полный угол поворота касательной при обходе плоской замкнутой петли равен где - целое (положительное или отрицательное) число, четность которого совпадает с четностью числа v самопересечений петли. Поэтому, если каждому узлу в петле (с углом поворота в нем ) сопоставить множитель то после обхода всей петли произведение этих множителей даст Для совокупности же нескольких петель мы получим в результате множитель , где .

Таким образом, можно не учитывать число пересечений, если брать каждый узел в петле с весом и для всего графика (совокупность петель) ввести еще множитель (для погашения такого же множителя в ).

Обозначим посредством сумму по всем одиночным петлям длины (т. е. состоящим из связей), причем каждая петля входит с множителем на каждый узел в ней.

Тогда сумма по всем парам петель с общим числом связей будет равна

(множитель 1/2! учитывает, что при перестановке индексов получается одна и та же пара петель), и аналогично для троек и т. д. петель. Таким образом, сумма S принимает вид

Поскольку в S входят совокупности петель с любой общей длиной во внутренней сумме числа пробегают независимо все значения от 1 до . Поэтому

и S приводится к виду

(151,6)

На этом заканчивается первый этап вычисления.

Для дальнейшего удобно связать с каждым узлом решетки четыре возможных направления выхода из нее, перенумеровав их специальным индексом , скажем по правилу

Введем вспомогательную величину - сумму по всем возможным переходам с длиной из некоторого заданного исходного узла в узел k, l, v (каждая связь входит, как везде, с множителем где — изменение направления при переходе к следующей связи); при этом последний шаг, приводящий в узел k, l, v, не должен происходить со стороны, в которую направлена стрелка . При таком определении есть сумма по всем петлям, выходящим из точки в направлении и возвращающимся в эту же точку.

Очевидно, что

(151,7)

Действительно, справа и слева стоит сумма по всем одиночным петлям, но в каждая петля входит раз, поскольку она может проходиться в двух противоположных направлениях и относиться к каждому из своих узлов в качестве исходного.

Из определения вытекают следующие рекуррентные соотношения:

(151,8)

Способ составления этих соотношений очевиден; так, в точку k, l, 1 можно попасть, сделав последний шаг слева, снизу или сверху, но не справа; коэффициенты при возникают от множителей

Обозначим посредством матрицу коэффициентов системы уравнений (151,8) (со всеми ), написанных в виде

Способ составления этих уравнений позволяет сопоставить этой матрице наглядный образ точки, «блуждающей» шаг за шагом по решетке с «вероятностью перехода» за один шаг из одного узла в другой, равной соответствующему элементу матрицы ; фактически ее элементы отличны от нуля лишь для изменения k или l на 0 или , т. е. за каждый шаг точка проходит лишь одну связь. Очевидно, что «вероятность перехода» длины будет определяться матрицей . В частности, диагональные компоненты этой матрицы дают «вероятность» возвращения точки в исходный узел после прохождения петли длины , т. е. совпадают с

Поэтому

Сравнивая с (151,7), находим

где — собственные значения матрицы . Подставив это выражение в (151,6) и меняя порядок суммирования по и по , получим

Матрица легко диагонализуется относительно индексов k, l путем перехода к другому представлению с помощью преобразования Фурье:

(151,10)

После перехода в обеих сторонах уравнений (151,8) к компонентам Фурье каждое из них будет содержать лишь с одинаковыми индексами т. е. матрица диагональна по . Для заданных ее элементы равны

где

Для заданных простое вычисление дает

Отсюда, согласно (151,3) и (151,9), находим окончательно статистическую сумму:

(151,11)

Термодинамический потенциал:

или, переходя от суммирования к интегрированию

(151,12)

(напомним, что ).

Обратимся к исследованию этого выражения. Функция имеет особую точку при том значении при котором аргумент логарифма под знаком интеграла может обратиться в нуль. Как функция от этот аргумент минимален при когда он равен

Это выражение имеет минимум, в котором оно обращается в нуль лишь при одном (положительном) значении соответствующая температура и является точкой фазового перехода.

Разложение по степеням вблизи точки перехода содержит наряду с регулярной частью также и особый член. Нас интересует здесь лишь последний (регулярную же часть заменим просто ее значением при ). Для выяснения его вида разлагаем аргумент логарифма в (151, 12) вблизи его минимума по степеням и t, после чего интеграл принимает вид

где - постоянные. Произведя интегрирование, найдем окончательно, что вблизи точки перехода термодинамический потенциал имеет вид

(151,13)

где - снова постоянные (причем ).

Сам потенциал непрерывен в точке перехода, а теплоемкость обращается в бесконечность по закону

(151,14)

симметричному по обе стороны точки перехода.

Роль параметра порядка в рассмотренной модели играет средний дипольный момент в узле (спонтанная поляризация решетки), отличный от нуля ниже точки перехода и равный нулю выше ее. Температурная зависимость этой величины тоже может быть определена; вблизи точки перехода параметр порядка стремится к нулю по закону

(151,15)

Корреляционная функция определяется как среднее значение произведения флуктуаций дипольного момента в двух узлах решетки. Корреляционный радиус оказывается стремящимся к бесконечности при по закону а в самой точке корреляционная функция убывает с расстоянием по закону

Эти результаты, а также результаты решения задачи о свойствах той же модели во внешнем поле показывают, что ее поведение вблизи точки фазозого перехода удовлетворяет требованиям гипотезы о масштабной инвариантности. При этом критические индексы имеют следующие значения:

(индекс определен согласно (148,7) с