Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 151. Фазовый переход второго рода в двумерной решеткеНевозможность теоретического определения критических индексов в общем виде придает особый интерес рассмотрению простой модели, допускающей точное аналитическое решение задачи о фазовом переходе второго рода. Это определенная модель двумерной решетки, для которой задача о фазовом переходе была впервые решена Онсагером (L. Onsager, 1944). Рассматриваемая модель представляет собой плоскую квадратную решетку, состоящую из N узлов, в каждом из которых находится «диполь» с осью, перпендикулярной к плоскости решетки. Диполь может иметь две противоположные ориентации, так что общее число возможных конфигураций диполей в решетке равно 2 2). Для описания различных конфигураций поступим следующим образом. С каждым узлом решетки (с целочисленными координатами k, I) свяжем переменную
(L — число узлов в ребре решетки, которую представляем себе в виде большого квадрата; Будем полагать; что Определение термодинамических величин требует вычисления статистической суммы
взятой по всем
в чем легко убедиться, разложив обе стороны равенства по степеням
где
и введено обозначение Под знаком суммы в (151,4) стоит полином по переменным Каждому члену полинома можно однозначно поставить в соответствие совокупность линий («связей»), соединяющих некоторые пары соседних узлов решетки. Так, изображенным на рис. 70 графикам соответствуют члены полинома:
Каждой линии графика сопоставляется множитель Тот факт, что отличный от нуля вклад в статистическую сумму дают лишь члены полинома, содержащие все
Рис. 70. Таким образом, сумма 5 может быть представлена в следующем виде:
где Дальнейший расчет состоит из двух этапов: 1) сумма по графикам указанного вида преобразуется в сумму по всем возможным замкнутым петлям, 2) получающаяся сумма вычисляется путем сведения к задаче о «случайных блужданиях» точки по решетке. Будем рассматривать каждый график как совокупность одной или нескольких замкнутых петель. Для графиков без самопересечений такое представление самоочевидно; так, график рис. 70, в есть совокупность двух петель. Для графиков же с самопересечениями такое разбиение неоднозначно; одна и та же фигура может состоять из различного числа петель в зависимости от способа ее построения. Это иллюстрируется рис. 71, показывающим три способа представления графика рис. 70, б в виде одной или двух петель без самопересечений или в виде одной петли с самопересечением. Аналогичным образом может быть пройдено тремя способами каждое пересечение и на более сложных графиках. Легко видеть, что сумму (151,5) можно распространить по всем возможным совокупностям петель, если при подсчете чисел графиков
Рис. 71.
Рис. 72. Эти графики относятся к числу недопустимых (в некоторых узлах сходится нечетное число связей — три), но, как и следовало, из суммы они фактически выпадают: при построении соответствующих такому графику петель каждая общая связь может быть пройдена двумя способами без пересечения (как на рис. 72, б) или с самопересечением (рис. 72, в), причем получающиеся совокупности петель войдут в сумму с противоположными знаками и взаимно сократятся. Далее можно избавиться от необходимости учитывать в явном виде число пересечений, если воспользоваться известным геометрическим фактом: полный угол поворота касательной при обходе плоской замкнутой петли равен Таким образом, можно не учитывать число пересечений, если брать каждый узел в петле с весом Обозначим посредством Тогда сумма по всем парам петель с общим числом связей
(множитель 1/2! учитывает, что при перестановке индексов
Поскольку в S входят совокупности петель с любой общей длиной
и S приводится к виду
На этом заканчивается первый этап вычисления. Для дальнейшего удобно связать с каждым узлом решетки четыре возможных направления выхода из нее, перенумеровав их специальным индексом
Введем вспомогательную величину Очевидно, что
Действительно, справа и слева стоит сумма по всем одиночным петлям, но в каждая петля входит Из определения
Способ составления этих соотношений очевиден; так, в точку k, l, 1 можно попасть, сделав последний Обозначим посредством
Способ составления этих уравнений позволяет сопоставить этой матрице наглядный образ точки, «блуждающей» шаг за шагом по решетке с «вероятностью перехода» за один шаг из одного узла в другой, равной соответствующему элементу матрицы Поэтому
Сравнивая с (151,7), находим
где
Матрица
После перехода в обеих сторонах уравнений (151,8) к компонентам Фурье каждое из них будет содержать
где Для заданных
Отсюда, согласно (151,3) и (151,9), находим окончательно статистическую сумму:
Термодинамический потенциал:
или, переходя от суммирования к интегрированию
(напомним, что Обратимся к исследованию этого выражения. Функция
Это выражение имеет минимум, в котором оно обращается в нуль лишь при одном (положительном) значении Разложение
где
где Сам потенциал непрерывен в точке перехода, а теплоемкость обращается в бесконечность по закону
симметричному по обе стороны точки перехода. Роль параметра порядка
Корреляционная функция определяется как среднее значение произведения флуктуаций дипольного момента в двух узлах решетки. Корреляционный радиус оказывается стремящимся к бесконечности при
Эти результаты, а также результаты решения задачи о свойствах той же модели во внешнем поле показывают, что ее поведение вблизи точки фазозого перехода удовлетворяет требованиям гипотезы о масштабной инвариантности. При этом критические индексы имеют следующие значения:
(индекс
|
1 |
Оглавление
|